Proyección ortogonal

La proyección ortogonal encuentra el punto de un subespacio más cercano a un vector dado. Aquí, el subespacio $S$ es un plano o una recta que pasa por el origen O, y el vector es $\vec b$. Su proyección $\vec p$ pertenece a $S$, y el error $\vec e = \vec b - \vec p$ es perpendicular a $S$. Puedes mover $\vec b$ y modificar $S$, comparar $\vec p$ con cualquier otro punto de $S$ y ver cuándo las sombras de $\vec b$ sobre dos ejes suman $\vec p$.

¿Por qué el ángulo recto da el punto más cercano? Toma cualquier otro punto $q$ de $S$. El segmento de $q$ a $\vec p$ está en $S$, así que es perpendicular a $\vec e$. Los puntos $\vec b$, $\vec p$ y $q$ forman un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $\vec p$, y Pitágoras da

Por tanto, $\vec b$ está más lejos de $q$ que de $\vec p$, salvo que $q$ sea el propio $\vec p$. El recíproco también es cierto: si $\vec e$ se inclinara hacia alguna dirección de $S$, mover $\vec p$ un poco en esa dirección lo acercaría a $\vec b$. En un plano, el punto más cercano es aquel donde $\vec e$ es perpendicular tanto a $\vec u$ como a $\vec w$. En una recta, basta con ser perpendicular a $\vec u$.

Encontrar $\vec p$ se reduce a estas condiciones de ángulo recto. En una recta, $\vec p$ es un múltiplo de $\vec u$, y la condición $\vec e\cdot\vec u = 0$ determina ese múltiplo:

En un plano, escribimos $\vec p = c_1\vec u + c_2\vec w$. Las dos condiciones $\vec e\cdot\vec u = 0$ y $\vec e\cdot\vec w = 0$ se convierten en dos ecuaciones lineales para $c_1$ y $c_2$, llamadas ecuaciones normales:

La lectura muestra $\vec p$ tanto en coordenadas como en forma de combinación de $\vec u$ y $\vec w$. Arrastra $\vec u$ y $\vec w$ dentro del mismo plano: los coeficientes cambian, pero $\vec p$ no. La proyección depende únicamente del subespacio, no de los vectores utilizados para describirlo.

Cuando $\vec u$ y $\vec w$ son perpendiculares, las dos ecuaciones se desacoplan. Cada coeficiente depende de un solo eje, y $\vec p$ es simplemente la suma de las sombras de $\vec b$ sobre los dos ejes:

Con ejes oblicuos, este atajo suele fallar. Cada sombra se calcula como si el otro eje no existiera, por lo que su suma $s$ suele quedar lejos de $\vec p$. En ese caso, la lectura muestra que $\vec b - s$ no cumple al menos una de las dos condiciones de perpendicularidad. Hacer w perpendicular a u sustituye $\vec w$ por su componente perpendicular a $\vec u$, un paso del proceso de Gram–Schmidt. El plano sigue siendo el mismo, pero ahora sus ejes son perpendiculares, y las sombras suman $\vec p$ para cualquier $\vec b$.

La diagonal que pasa por $(1, 1, 1)$ ofrece un ejemplo familiar. Proyectar $\vec b$ sobre ella sustituye cada componente de $\vec b$ por la media de todas ellas, y $|\vec e|^2$ es la suma de las desviaciones al cuadrado respecto a esa media. La regresión por mínimos cuadrados utiliza el mismo tipo de proyección.