Sommatoria

La sommatoria scrive una somma di molti termini in un’unica espressione, usando la lettera greca maiuscola $\Sigma$. L’indice $k$ parte dall’estremo inferiore $m$, scritto sotto $\Sigma$, e cresce di uno alla volta fino all’estremo superiore $n$, scritto sopra. Ogni valore fornisce un termine $a_k$: si sommano i termini, non i valori dell’indice.

Quando $m \le n$, ci sono $n - m + 1$ termini: entrambi gli estremi sono inclusi, diversamente da range(m, n) in alcuni linguaggi di programmazione, che si ferma prima di $n$. Gli estremi possono essere interi qualsiasi; la stessa somma si scrive anche $\sum_{m \le k \le n} a_k$.

Qui ogni termine è una barra sopra il proprio indice. Accanto, il diagramma del totale progressivo traccia le somme successive, con una freccia per termine. Puoi scegliere gli estremi e il termine, esaminare un termine per vedere quale indice l’ha prodotto e il totale fino a quel punto, oppure aggiungere i termini uno alla volta e conservare una riga di calcolo per ciascuno.

L’indice ha significato soltanto dentro la somma. Rinominalo ovunque, sotto $\Sigma$ e nel termine, e nulla cambia: $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. Per questo si chiama variabile muta. Rinominandolo in un solo punto si cambia l’espressione: in $\sum_{j=1}^{3} k^2$, il termine non dipende da $j$, quindi la somma è $3k^2$. L’indice serve a indicare quali termini ci sono, perciò può anche non comparire nel termine. Per $m \le n$, sommare una costante da $k = m$ a $n$ significa aggiungerla $n - m + 1$ volte: $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

Quando ci sono termini ($m \le n$), spostare un estremo di uno cambia la somma di esattamente un termine da quel lato, perché entrambi gli estremi sono inclusi. Alzare l’estremo superiore aggiunge il termine successivo; alzare quello inferiore toglie il primo.

Se l’estremo superiore è sotto quello inferiore, come in $\sum_{k=5}^{4} a_k$, l’indice non assume alcun valore e non ci sono termini. Per la convenzione usuale questa somma vuota vale 0: il totale parte da 0 e non vi si aggiunge nulla. La convenzione mantiene valido il passaggio da un estremo al successivo fin dall’inizio: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$ vale per $n = 1$, dove la somma a destra non ha termini. Una somma senza termini non è la stessa cosa di termini che si annullano: in $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$, tutti e sei i termini sono presenti.