합 기호

합 기호는 그리스 대문자 $\Sigma$로 여러 항의 합을 하나의 식으로 씁니다. 첨자 $k$는 $\Sigma$ 아래에 쓴 하한 $m$에서 시작해 하나씩 증가하며, 위에 쓴 상한 $n$까지 갑니다. 각 값은 하나의 항 $a_k$를 줍니다. 더하는 것은 첨자 값이 아니라 항입니다.

$m \le n$이면 항은 $n - m + 1$개입니다. 양 끝을 모두 포함합니다. 일부 프로그래밍 언어의 range(m, n)는 $n$ 직전에 멈추지만, 합 기호는 다릅니다. 양 끝에는 어떤 정수든 올 수 있고, 같은 합을 $\sum_{m \le k \le n} a_k$로 쓰기도 합니다.

여기서 각 항은 해당 첨자 위의 막대입니다. 옆의 누적 합 그림은 항마다 화살표 하나로 연속된 총합을 보여 줍니다. 범위와 항을 고르고, 한 항을 살펴보며 첨자와 그 항까지의 합을 확인할 수 있습니다. 또는 항을 하나씩 더하면서 계산 과정을 항마다 한 줄씩 남길 수 있습니다.

첨자는 합 안에서만 의미가 있습니다. $\Sigma$ 아래와 항 안에서 이름을 모두 바꾸면 아무것도 달라지지 않습니다: $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. 그래서 더미 변수라고 부릅니다. 한 곳에서만 이름을 바꾸면 식이 달라집니다. $\sum_{j=1}^{3} k^2$에서는 항이 $j$에 의존하지 않으므로 합은 $3k^2$입니다. 첨자의 역할은 어떤 항이 있는지 정하는 것이어서 항 안에 나타나지 않아도 됩니다. $m \le n$일 때 상수를 $k = m$부터 $n$까지 더하는 것은 그 상수를 $n - m + 1$번 더하는 것입니다: $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

항이 있는 경우($m \le n$), 한쪽 끝을 1 바꾸면 그 끝의 항 하나만큼 합이 바뀝니다. 양 끝을 모두 포함하기 때문입니다. 상한을 올리면 다음 항이 추가되고, 하한을 올리면 첫 항이 빠집니다.

$\sum_{k=5}^{4} a_k$처럼 상한이 하한보다 작으면 첨자가 어떤 값도 취하지 않아 항이 없습니다. 일반적인 약속에 따라 이 빈 합은 0입니다. 총합은 0에서 시작하고 아무것도 더해지지 않기 때문입니다. 이 약속 덕분에 범위를 한 칸 바꾸는 관계가 맨 처음부터 성립합니다. $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$는 $n = 1$일 때도 성립하며, 이때 오른쪽 합에는 항이 없습니다. 항이 없는 합은 항들이 서로 상쇄되는 것과 다릅니다. $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$에는 여섯 항이 모두 있습니다.