Notação de somatório

A notação de somatório escreve uma soma de muitos termos numa única expressão, usando a letra grega maiúscula $\Sigma$. O índice $k$ começa no limite inferior $m$, escrito sob $\Sigma$, e aumenta um de cada vez até ao limite superior $n$, escrito acima. Cada valor dá um termo $a_k$; somam-se os termos, não os valores do índice:

Quando $m \le n$, há $n - m + 1$ termos: ambos os limites são incluídos, ao contrário de range(m, n) em algumas linguagens de programação, que para antes de $n$. Os limites podem ser quaisquer inteiros; a mesma soma também se escreve $\sum_{m \le k \le n} a_k$.

Aqui cada termo é uma barra sobre o seu índice. Ao lado, o diagrama do total acumulado acompanha os totais sucessivos, com uma seta por termo. Pode escolher os limites e o termo, observar um termo para ver que índice o produziu e qual é o total até ele, ou somar os termos um de cada vez e guardar uma linha de cálculo para cada um.

O índice só tem significado dentro da soma. Mude-lhe o nome em todos os sítios, sob $\Sigma$ e no termo, e nada muda: $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. Por isso se chama variável muda. Mudar o nome num só sítio altera a expressão: em $\sum_{j=1}^{3} k^2$, o termo não depende de $j$, pelo que a soma é $3k^2$. O índice indica que termos existem, por isso nem precisa de aparecer no termo. Para $m \le n$, somar uma constante de $k = m$ a $n$ equivale a adicioná-la $n - m + 1$ vezes: $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

Quando há termos ($m \le n$), mover um limite em uma unidade altera a soma em exatamente um termo desse extremo, porque os dois extremos estão incluídos. Aumentar o limite superior acrescenta o termo seguinte; aumentar o inferior retira o primeiro.

Se o limite superior for menor do que o inferior, como em $\sum_{k=5}^{4} a_k$, o índice não toma nenhum valor e não há termos. Pela convenção habitual, esta soma vazia vale 0: o total começa em 0 e nada lhe é acrescentado. A convenção mantém válida a passagem de um limite ao seguinte desde o início: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$ vale para $n = 1$, onde a soma à direita não tem termos. Uma soma sem termos não é o mesmo que termos que se anulam: em $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$, todos os seis termos estão presentes.