Séries infinitas

Uma série infinita $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ não tem último termo. Por isso, estudamos a soma dos seus primeiros n termos, a soma parcial $S_n$, à medida que n cresce. Se $S_n$ tende para um número S, a série converge e S é a sua soma. Caso contrário, diverge.

O gráfico representa $S_n$ em função de n, num eixo logarítmico de 1 até um milhão. A reta numérica à esquerda desenha cada termo como um arco de $S_{k-1}$ a $S_k$. Os termos positivos dão arcos que seguem todos no mesmo sentido; os termos de sinais alternados dão arcos de vaivém.

Para haver convergência, é necessário que os termos tendam para 0, porque $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$. Isso não basta. Os termos da série harmónica $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ tendem para 0, mas as suas somas parciais crescem sem limite. A opção Comparação integral mostra porquê: o retângulo de altura 1/k em [k, k + 1] fica acima da curva y = 1/x, pelo que $S_n > \ln(n+1)$. O crescimento é tão lento que um milhão de termos só somam cerca de 14.39.

Os mesmos retângulos resolvem o caso da série p $\sum 1/k^p$: converge se e só se p > 1. Para p > 1, também delimitam o que falta após n termos, o resto $R_n = S - S_n$:

A página pode, assim, dar um intervalo que contém necessariamente o limite, mesmo quando este não tem uma fórmula simples. Porém, um intervalo estreito não significa que $S_n$ esteja perto. Com p = 1.1, após um milhão de termos ainda faltam cerca de 2.5 para o limite. Mesmo assim, adicionar $S_n$ aos dois integrais dá um intervalo minúsculo que o contém.

As somas parciais da série geométrica $r + r^2 + r^3 + \cdots$ têm uma fórmula explícita:

Com r = ½, cada termo cobre metade da distância restante, como mostra Distância restante, e $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$. Com r = 1, as somas parciais crescem sem limite; com r = −1, alternam entre −1 e 0 indefinidamente.

Se os termos alternam de sinal e os seus valores absolutos decrescem até 0, a série converge e a soma fica sempre entre duas somas parciais vizinhas. Cada intervalo está contido no anterior e as suas larguras tendem para 0, pelo que se fecham sobre um único número. A opção Intervalos encaixados empilha-os. A página inclui duas séries deste tipo: $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ e a de Leibniz, $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$.

A série harmónica alternada converge apenas condicionalmente: sem os sinais, $\sum 1/k$ diverge. O teorema de reordenação de Riemann diz que uma série destas pode ser reordenada para convergir para qualquer número T. A opção Reordenada mantém a ordem original dos termos de cada sinal: se a soma for menor ou igual a T, adiciona o positivo seguinte; se for maior, o negativo seguinte. Só os termos positivos somam +∞ e os negativos −∞, pelo que cada sequência alcança ou cruza T. Cada excesso é, no máximo, o valor absoluto do termo que o provoca, e os termos tendem para 0; por isso, as somas tendem para T.