المتسلسلات اللانهائية: تصوّر تفاعلي

المتسلسلات في هذا التصوّر

لا يوجد حد أخير في المتسلسلة اللانهائية $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ ؛ لذا ننظر إلى مجموع أول ⁦n⁩ من الحدود، أي المجموع الجزئي $S_n$ ، مع نمو ⁦n⁩. إذا اقترب $S_n$ من عدد ⁦S⁩ فإن المتسلسلة متقاربة و⁦S⁩ هو مجموعها. وإلا فهي متباعدة.

مجموع المتسلسلة هو نهاية مجاميعها الجزئية

S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty} S_n = S

يرسم المخطط $S_n$ بدلالة ⁦n⁩ على محور لوغاريتمي من ⁦1⁩ إلى مليون. ويرسم خط الأعداد يسارًا كل حد كقوس من $S_{k-1}$ إلى $S_k$ . تعطي الحدود الموجبة أقواسًا تسير كلها في اتجاه واحد، وتعطي الحدود المتناوبة أقواسًا تتأرجح ذهابًا وإيابًا.

أن تؤول الحدود إلى ⁦0⁩ شرط لازم للتقارب، لأن $a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$ . لكنه غير كافٍ. فالمتسلسلة التوافقية $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ حدودها تؤول إلى ⁦0⁩، ومع ذلك تنمو مجاميعها الجزئية بلا حد. تبيّن المقارنة بالتكامل السبب: المستطيل ذو الارتفاع ⁦1/k⁩ على ⁦[k, k + 1]⁩ يقع فوق المنحنى ⁦y = 1/x⁩، لذا $S_n > \ln(n+1)$ . النمو بطيء إلى حد أن مليون حد لا يتجاوز مجموعها نحو ⁦14.39⁩.

تحسم المستطيلات نفسها سلوك متسلسلة ⁦p⁩، أي $\sum 1/k^p$ : تتقارب إذا وفقط إذا ⁦p > 1⁩. وعند ⁦p > 1⁩ تحصر أيضًا ما يتبقى بعد جمع ⁦n⁩ من الحدود، أي الباقي $R_n = S - S_n$ :

الباقي بعد الحدود الأولى يقع بين تكاملين

\frac{(n+1)^{1-p}}{p-1} = \int_{n+1}^{\infty} x^{-p}\,dx \;<\; R_n \;<\; \int_{n}^{\infty} x^{-p}\,dx = \frac{n^{1-p}}{p-1}

لذا تستطيع الصفحة إعطاء فترة لا بد أن تحتوي النهاية، حتى لو لم توجد صيغة بسيطة لها. لكن ضيق الفترة لا يعني أن $S_n$ قريب منها. عند ⁦p = 1.1⁩ يظل مجموع مليون حد أقل من النهاية بنحو ⁦2.5⁩. ومع ذلك، فإن إضافة $S_n$ إلى كلا التكاملين تعطي فترة ضيقة جدًا تحتوي النهاية.

للمتسلسلة الهندسية $r + r^2 + r^3 + \cdots$ صيغة صريحة للمجاميع الجزئية:

المتسلسلة الهندسية ومجموعها

S_n = \sum_{k=1}^{n} r^k = \frac{r(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \ne 1), \qquad \sum_{k=1}^{\infty} r^k = \frac{r}{1 - r} \quad (|r| < 1)

عند ⁦r = ½⁩ يسدّ كل حد نصف الفارق المتبقي، وهو ما ترسمه نافذة الفارق المتبقي، وتتحقق $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$ . عند ⁦r = 1⁩ تنمو المجاميع الجزئية بلا حد، وعند ⁦r = −1⁩ تتناوب بين ⁦−1⁩ و⁦0⁩ إلى الأبد.

إذا تناوبت إشارات الحدود وتناقصت قيمها المطلقة إلى ⁦0⁩، تتقارب المتسلسلة ويبقى مجموعها دائمًا بين مجموعين جزئيين متجاورين. تقع كل فترة داخل سابقتها ويؤول عرضها إلى ⁦0⁩، فتحصر عددًا واحدًا. تعرض نافذة الفترات المتداخلة هذه الفترات فوق بعضها. تضم الصفحة متسلسلتين من هذا النوع: $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$ ، ومتسلسلة لايبنتس $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$ .

تتقارب المتسلسلة التوافقية المتناوبة تقاربًا مشروطًا فقط: بإزالة الإشارات تتباعد $\sum 1/k$ . وتقول مبرهنة ريمان لإعادة الترتيب إن حدود متسلسلة كهذه يمكن إعادة ترتيبها لتتقارب إلى أي عدد ⁦T⁩. يحافظ وضع إعادة الترتيب على الترتيب الأصلي لحدود كل إشارة: عندما يكون المجموع عند ⁦T⁩ أو دونه يضيف الحد الموجب التالي، وفوقه يضيف السالب التالي. مجموع الحدود الموجبة وحدها يؤول إلى ⁦+∞⁩ والسالبة إلى ⁦−∞⁩، فتبلغ كل سلسلة إضافات ⁦T⁩ أو تعبره. لا يتجاوز التخطي مقدار الحد الذي سببه، والحدود تؤول إلى ⁦0⁩، لذا تؤول المجاميع إلى ⁦T⁩.

ما يجدر ملاحظته

عرض مليون حد يقدّم قرائن، لا برهانًا. على هذا المقياس تبدو المتسلسلة التوافقية المتباعدة ومتسلسلة ⁦p = 1.1⁩ المتقاربة متشابهتين جدًا. يُحسم التقارب بحجة رياضية مثل الحجج أعلاه.
ليس لـ $1 - 1 + 1 - \cdots$ مجموع: مجاميعها الجزئية ⁦1, 0, 1, 0, …⁩. وتجميع الحدود على صورة $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0$ يحتفظ ببعض المجاميع الجزئية فقط، فيغيّر المتسلسلة.

التحكم

اضغط أي موضع في الرسم لتعيين ⁦n⁩ واسحب أفقيًا؛ تتوقف ⁦n⁩ عند قوى العشرة. في وضع إعادة الترتيب اسحب مقبض ⁦T⁩ إلى أعلى وأسفل.

مفاهيم ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Series (mathematics) (الإنجليزية); ويكيبيديا: Riemann series theorem (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 2, 5.2 Infinite Series (الإنجليزية).