無限級数

無限級数$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$には最後の項がないので、最初のn項の和である部分和$S_n$を、nを増やしながら調べます。$S_n$がある数Sに近づくなら級数は収束し、Sがその和です。それ以外は発散します。

グラフは1から100万までの対数軸上のnに対して$S_n$を描きます。左の数直線では各項を$S_{k-1}$から$S_k$への弧で示します。正の項の弧はすべて同じ方向に進み、交代する項の弧は行き来します。

収束には項が0に近づく必要があります。$a_n = S_n - S_{n-1} \to S - S = 0$だからです。しかし、それだけでは十分ではありません。調和級数$1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$は項が0に近づいても部分和が上限なく増大します。積分との比較で理由が分かります。区間[k, k + 1]の高さ1/kの長方形は曲線y = 1/xより上にあるので、$S_n > \ln(n+1)$です。増え方はとても遅く、100万項足しても約14.39にしかなりません。

同じ長方形でp級数$\sum 1/k^p$も判定できます。収束するのはp > 1のとき、かつそのときに限られます。p > 1では、n項の後に残る剰余$R_n = S - S_n$も挟めます：

そのため、極限を簡単な式で書けなくても、極限を必ず含む区間を示せます。ただし、区間が狭いからといって$S_n$が極限に近いとは限りません。p = 1.1では100万項足しても極限まで約2.5足りません。それでも2つの積分に$S_n$を加えれば、極限を含むとても狭い区間が得られます。

等比級数$r + r^2 + r^3 + \cdots$の部分和は閉じた式で書けます：

r = ½では、各項が残りの差の半分を埋めます。残りの差はその様子を描き、$\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$が成り立ちます。r = 1では部分和は上限なく増大し、r = −1では−1と0の間をいつまでも行き来します。

項の符号が交互に変わり、絶対値が単調に減って0に近づくなら、級数は収束し、その和は常に隣り合う2つの部分和の間にあります。それぞれの区間は前の区間に含まれ、幅が0に近づくので、1つの数に絞り込まれます。入れ子の区間はそれらを積み重ねて描きます。このページでは$1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$と、ライプニッツの級数$1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots = \pi/4$を扱います。

交代調和級数は条件収束です。符号を取り除いた$\sum 1/k$は発散します。リーマンの級数並べ替え定理によると、このような級数は並べ替えることで任意の数Tに収束させられます。並べ替えでは、各符号の項の順序を保ち、和がT以下なら次の正の項、Tより大きければ次の負の項を加えます。正の項だけの和は+∞、負の項だけの和は−∞へ向かうので、どちらも加え続ければTに届くか、またぎます。行き過ぎる幅はその項の絶対値以下で、項は0に近づくため、和はTに落ち着きます。