رمز المجموع

يكتب رمز المجموع مجموع حدود كثيرة في تعبير واحد، باستخدام الحرف اليوناني الكبير ⁦$\Sigma$⁩. يبدأ الدليل ⁦$k$⁩ من الحد الأدنى ⁦$m$⁩ المكتوب تحت ⁦$\Sigma$⁩، ويزيد واحدًا في كل مرة حتى الحد الأعلى ⁦$n$⁩ المكتوب فوقه. تعطي كل قيمة حدًا ⁦$a_k$⁩؛ وتُجمع الحدود، لا قيم الدليل:

عندما ⁦$m \le n$⁩، يكون عدد الحدود ⁦$n - m + 1$⁩: كلا حدي الجمع مشمول، بخلاف ⁦range(m, n)⁩ في بعض لغات البرمجة، الذي يتوقف قبل ⁦$n$⁩. يمكن أن يكون حدا الجمع أي عددين صحيحين، ويُكتب المجموع نفسه أيضًا ⁦$\sum_{m \le k \le n} a_k$⁩.

هنا يمثَّل كل حد بعمود فوق دليله. وبجوار الأعمدة يتتبع مخطط المجموع التراكمي المجاميع المتعاقبة، بسهم لكل حد. يمكنك اختيار حدي الجمع والحد، وفحص حد واحد لمعرفة الدليل الذي أعطاه والمجموع حتى موضعه، أو إضافة الحدود واحدًا تلو الآخر مع الاحتفاظ بصف حساب لكل منها.

لا يحمل الدليل معنى إلا داخل المجموع. غيّر اسمه في كل موضع، تحت ⁦$\Sigma$⁩ وفي الحد، ولن يتغير شيء: ⁦$\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$⁩. لذلك يسمّى متغيرًا صوريًا. تغيير الاسم في موضع واحد فقط يغيّر التعبير: في ⁦$\sum_{j=1}^{3} k^2$⁩ لا يعتمد الحد على ⁦$j$⁩، لذا المجموع هو ⁦$3k^2$⁩. وظيفة الدليل تحديد الحدود الموجودة، فلا يلزم أن يظهر في الحد أصلًا. عندما ⁦$m \le n$⁩، فإن جمع ثابت من ⁦$k = m$⁩ إلى ⁦$n$⁩ يعني إضافته عددًا من المرات يساوي ⁦$n - m + 1$⁩، أي ⁦$\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$⁩.

عندما توجد حدود (⁦$m \le n$⁩)، فإن تحريك أحد حدي الجمع بمقدار واحد يغيّر المجموع بحد واحد بالضبط عند ذلك الطرف، لأن الطرفين مشمولان. رفع الحد الأعلى يُدخل الحد التالي، ورفع الحد الأدنى يحذف الحد الأول.

إذا كان الحد الأعلى دون الحد الأدنى، كما في ⁦$\sum_{k=5}^{4} a_k$⁩، لا يأخذ الدليل أي قيمة ولا توجد حدود. بحسب الاصطلاح المعتاد، يساوي هذا المجموع الفارغ صفرًا: يبدأ المجموع من 0 ولا يُضاف إليه شيء. وبهذا تبقى علاقة الانتقال بين قيمتين متتاليتين لحدّ الجمع صحيحة منذ البداية؛ تصح ⁦$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$⁩ عند ⁦$n = 1$⁩، حيث لا توجد حدود في المجموع على اليمين. المجموع بلا حدود ليس كحدود تتلاشى فيما بينها: في ⁦$\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$⁩ توجد الحدود الستة كلها.