Notation sigma

La notation sigma écrit une somme de plusieurs termes en une seule expression, avec la lettre grecque majuscule $\Sigma$. L’indice $k$ part de la borne inférieure $m$, écrite sous le $\Sigma$, et augmente de 1 jusqu’à la borne supérieure $n$, écrite au-dessus. Chaque valeur donne un terme $a_k$ ; ce sont les termes, et non les valeurs de l’indice, qu’on additionne :

Lorsque $m \le n$, il y a $n - m + 1$ termes : les deux bornes sont incluses, contrairement à range(m, n) dans certains langages de programmation, qui s’arrête avant $n$. Les bornes peuvent être des entiers quelconques ; la même somme s’écrit aussi $\sum_{m \le k \le n} a_k$.

Ici, chaque terme est une barre au-dessus de son indice. À côté, le diagramme du total cumulé suit les totaux successifs, avec une flèche par terme. Vous pouvez choisir les bornes et le terme, examiner un terme pour voir quel indice l’a produit et le total atteint jusque-là, ou ajouter les termes un à un en conservant une ligne de calcul pour chacun.

L’indice n’a de sens qu’à l’intérieur de la somme. Renommez-le partout, sous le $\Sigma$ et dans le terme : rien ne change, $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. C’est pourquoi on l’appelle variable muette. Le renommer à un seul endroit change l’expression : dans $\sum_{j=1}^{3} k^2$, le terme ne dépend pas de $j$, donc la somme vaut $3k^2$. L’indice sert à préciser quels termes sont présents ; il n’a donc pas besoin de figurer dans le terme. Pour $m \le n$, sommer une constante de $k = m$ à $n$ revient à l’additionner $n - m + 1$ fois : $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

Lorsqu’il y a des termes ($m \le n$), déplacer une borne de 1 modifie la somme d’exactement un terme à cette extrémité, car les deux bornes sont incluses : augmenter la borne supérieure ajoute le terme suivant, et augmenter la borne inférieure retire le premier.

Si la borne supérieure est inférieure à la borne inférieure, comme dans $\sum_{k=5}^{4} a_k$, l’indice ne prend aucune valeur et il n’y a aucun terme. Par convention usuelle, cette somme vide vaut 0 : le total commence à 0 et rien ne lui est ajouté. Cette convention préserve le passage d’une borne à la suivante dès le départ : $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$ reste vrai pour $n = 1$, alors que la somme à droite n’a aucun terme. Une somme sans termes diffère de termes qui se compensent : dans $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$, les six termes sont bien présents.