Notación sigma

La notación sigma escribe una suma de muchos términos como una sola expresión, con la letra griega mayúscula $\Sigma$. El índice $k$ empieza en el límite inferior $m$, escrito bajo $\Sigma$, y aumenta de uno en uno hasta el límite superior $n$, escrito encima. Cada valor produce un término $a_k$, y se suman los términos, no los valores del índice:

Cuando $m \le n$, hay $n - m + 1$ términos: se incluyen ambos límites, a diferencia de range(m, n) en algunos lenguajes de programación, que se detiene antes de $n$. Los límites pueden ser enteros cualesquiera; la misma suma también se escribe $\sum_{m \le k \le n} a_k$.

Aquí cada término es una barra situada sobre su índice. A su lado, el diagrama del total acumulado recorre las sumas sucesivas, con una flecha por término. Puedes elegir los límites y el término, examinar uno para ver qué índice lo produjo y cuál es el total hasta él, o añadir los términos de uno en uno y guardar una fila de cálculo por cada uno.

El índice solo tiene significado dentro de la suma. Cámbiale el nombre en todas partes, bajo $\Sigma$ y en el término, y nada cambia: $\sum_{k=1}^{3} k^2 = \sum_{j=1}^{3} j^2 = 1 + 4 + 9 = 14$. Por eso se llama variable muda. Cambiarlo en un solo lugar sí altera la expresión: en $\sum_{j=1}^{3} k^2$, el término no depende de $j$, así que la suma es $3k^2$. El índice indica qué términos hay, de modo que ni siquiera tiene que aparecer en el término. Para $m \le n$, sumar una constante desde $k = m$ hasta $n$ es añadirla $n - m + 1$ veces: $\sum_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)\,c$.

Cuando hay términos ($m \le n$), mover un límite en una unidad cambia la suma en exactamente un término de ese extremo, porque se incluyen ambos extremos. Aumentar el límite superior incorpora el término siguiente; aumentar el inferior quita el primero.

Si el límite superior es menor que el inferior, como en $\sum_{k=5}^{4} a_k$, el índice no toma ningún valor y no hay términos. Por la convención habitual, esta suma vacía vale 0: el total empieza en 0 y no se le añade nada. La convención mantiene válido el paso de un límite al siguiente desde el inicio: $\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n$ se cumple para $n = 1$, donde la suma de la derecha no tiene términos. Una suma sin términos no es lo mismo que términos que se cancelan: en $\sum_{k=1}^{6} (-1)^k = 0$, los seis términos están presentes.