Эпициклы Фурье: интерактивная визуализация

Эпициклы Фурье в этой визуализации

Обойдите замкнутую кривую на плоскости один раз, представляя каждую точку комплексным числом $z(t)$ , где $t$ меняется от 0 до 1 за один оборот. Её комплексный ряд Фурье записывает $z(t)$ как сумму слагаемых $c_k e^{2\pi i k t}$ , по одному для каждого целого числа $k$ . Каждое слагаемое — это точка, обходящая окружность радиуса $|c_k|$ по $k$ раз за оборот, начиная с угла $\arg c_k$ ; при отрицательных $k$ вращение идёт в другую сторону. Соедините окружности в цепочку, помещая центр каждой в конечную точку предыдущей, и последняя точка нарисует сумму. $c_0$ не вращается: это начало цепочки.

z(t) = \sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k\, e^{2\pi i k t}:\ \text{радиус } |c_k|,\ k \text{ оборотов за цикл, начальный угол } \arg c_k

Что вычисляет страница

Страница берёт на кривой $N = 1024$ точек, равномерно по её длине (или, для сердца, равномерно по $t$ из его формулы), и вычисляет дискретные коэффициенты $\tilde c_k$ . Сумма всех $N$ слагаемых проходит точно через $N$ точек выборки. Ошибка в точках выборки равна $\sqrt{\sum_\text{неиспользованные} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ (без $c_0$ ): по дискретному равенству Парсеваля это среднеквадратичное расстояние между нарисованной кривой и точками выборки, делённое на среднеквадратичное расстояние от точек выборки до их центра. Это не сравнение с вашим исходным росчерком.

Кнопка Добавлять окружности добавляет окружности уровень за уровнем, $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ , по одному обороту на каждый, начиная с наибольших (или с наименьшей частоты). Каждый завершённый уровень остаётся в виде бледного следа: там, где уровни совпадают, свет накапливается, а там, где они ещё различаются, — рассеивается. Одна окружность даёт окружность; $k = 1$ и $k = -1$ вместе дают эллипс с полуосями $|c_1| + |c_{-1}|$ и $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ .

Метки на следе пера разделены во времени интервалами в $1/64$ оборота. Там, где они сгущаются, перо в среднем двигалось по этому участку медленно; между двумя метками быстрая окружность может совершить несколько оборотов, поэтому метки не показывают мгновенную скорость.

Что легко понять неверно

Коэффициенты зависят от кривой и от способа её обхода. Сердце $x = 16\sin^3 t$ , $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ при обходе по собственному параметру $t$ имеет ровно 8 ненулевых слагаемых; при обходе с постоянной скоростью тому же сердцу нужна 21 окружность, чтобы ошибка стала меньше 1 %.
Порядок звеньев цепочки меняет её вид, но не траекторию её конца: сумма не зависит от порядка слагаемых.
У углов, как у квадрата или звезды, частичные суммы могут выходить за пределы фигуры, пока окружностей мало, но эти выступы затухают по мере добавления окружностей (не с каждой отдельной окружностью). Скачки ведут себя иначе: там выброс сохраняется (явление Гиббса). Поскольку эта страница использует $N$ точек выборки, небольшое колебание между ними остаётся даже при включении всех слагаемых: около 0,0007 для квадрата с половиной стороны 1.
Свечение, следы и угасание окружностей — лишь эффекты отображения.

История

Древние астрономы описывали движение планет с помощью окружностей, движущихся по окружностям, — деферента и эпицикла. Цепочка равномерно вращающихся окружностей в точности представляет собой сумму слагаемых $c_k e^{2\pi i k t}$ , поэтому достаточное число эпициклов позволяет следовать по любой замкнутой траектории [2]. Фурье ввёл свои ряды в 1807 году для описания распространения тепла [1].

Связанные понятия

Комплексная плоскость · Единичная окружность · Ряд Фурье (страница планируется) · Параметрическое уравнение (страница планируется)

Источники

J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

Дополнительные материалы: Википедия: Fourier series (Английский); Архив истории математики MacTutor: Joseph Fourier (Английский).