傅里叶本轮

傅里叶本轮与本页画面

沿平面上一条闭合曲线走一圈，把每一点看成复数$z(t)$，$t$从0到1是一圈。它的复数傅里叶级数把$z(t)$写成许多项$c_k e^{2\pi i k t}$之和，每个整数$k$一项。每一项是一个点沿半径$|c_k|$的圆转，每圈转$k$次，从辐角$\arg c_k$出发；$k$为负时反向转。把这些圆首尾相接，最后一个圆的端点画出的就是这个和。$c_0$不转：它是圆链的起点。

本页算的是什么

本页沿曲线按弧长均匀取$N = 1024$个点（心形可以改成按式子的$t$均匀取点），算出离散系数$\tilde c_k$。全部$N$项合起来正好经过这$N$个点。采样点误差是$\sqrt{\sum_\text{未用} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$（不含$c_0$）：由离散帕塞瓦尔恒等式，它就是画出的曲线与采样点之间的均方根距离，相对于图形的大小。它不是和你原来那一笔的比较。

逐级加圆按$M = 1, 2, 4, 8, \ldots$一级一级加圆，每级一圈，先加最大的（或频率最低的）。画完的每一级留成一道淡影：各级一致的地方光叠在一起，还不一致的地方光是散的。一个圆就是一个圆；$k = 1$和$k = -1$合起来是半轴为$|c_1| + |c_{-1}|$和$\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$的椭圆。

笔迹上的刻点在时间上相隔$1/64$圈。刻点密的那一段，笔平均走得慢；两个刻点之间，转得快的圆可能已经转了好几圈，所以刻点说明不了某一瞬间的速度。

容易误读的地方

• 系数既取决于曲线，也取决于怎样走这条曲线。心形$x = 16\sin^3 t$、$y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$按自己的$t$走，正好只有8个非零项；同一个心形按弧长匀速走，要21个圆误差才降到1%以下。
• 圆链的顺序改变的是它的样子，不是端点走到哪里：求和与顺序无关。
• 在方形、五角星这样的角上，圆少时部分和可以超出图形，但随着圆增多，超出的部分会消失（不是每加一个都变小）。跳跃处不一样：那里的过冲不会消失（吉布斯现象）。本页用的是$N$个采样点，所以即使全部项都用上，采样点之间还留着一点起伏：半边长为1的方形约0.0007。
• 光晕、拖尾和圆的淡出都只是显示效果。

来历

古代天文学用“圆上套圆”描述行星的运动，即均轮和本轮。一串匀速转动的圆正好是许多项$c_k e^{2\pi i k t}$之和，所以足够多的本轮可以跟上任意一条闭合路径 [2]。傅里叶在1807年为研究热的传导引入了他的级数 [1]。

相关概念

复平面 · 单位圆 · 傅里叶级数（页面筹备中）· 参数方程（页面筹备中）

参考文献

1. J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
2. N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

延伸阅读：维基百科：傅里叶级数；MacTutor数学史：Joseph Fourier（英文）。