傅立葉本輪：互動視覺化

本視覺化中的傅立葉本輪

沿平面上的封閉曲線繞行一圈，將每個點視為複數 $z(t)$ ，其中 $t$ 從0到1代表一圈。它的複數傅立葉級數將 $z(t)$ 寫成各項 $c_k e^{2\pi i k t}$ 的總和，每個整數 $k$ 對應一項。每一項都是一個點，從角度 $\arg c_k$ 出發，沿半徑為 $|c_k|$ 的圓運動，每繞行一圈就旋轉 $k$ 圈；負的 $k$ 表示反向旋轉。將這些圓首尾相接，最後的端點便畫出總和。 $c_0$ 不旋轉：它是圓鏈的起點。

z(t) = \sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k\, e^{2\pi i k t}:\ \text{半徑 } |c_k|,\ k \text{ 圈/週期，起始角 } \arg c_k

本頁計算的內容

本頁沿曲線長度均勻取 $N = 1024$ 個點（心形也可依其公式的 $t$ 均勻取樣），並計算離散係數 $\tilde c_k$ 。全部 $N$ 項相加後，會精確通過這 $N$ 個取樣點。取樣點誤差為 $\sqrt{\sum_\text{未用} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ （不含 $c_0$ ）：根據離散Parseval恆等式，它等於所畫曲線與取樣點之間距離的均方根，除以取樣點到其中心之距離的均方根。這並不是與你原始筆畫的比較。

增加圓會逐階段加入圓， $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ ，每階段繞一圈，從最大的圓開始（或從最低頻率開始）。每個完成的階段都會留下淡淡的殘影：各階段重合處的光會疊加，尚未重合處的光則會散開。一個圓畫出的是圓； $k = 1$ 與 $k = -1$ 合在一起，會形成半軸長為 $|c_1| + |c_{-1}|$ 與 $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ 的橢圓。

畫筆軌跡上的刻痕，在時間上相隔繞行一圈所需時間的 $1/64$ 。刻痕密集處，表示畫筆在那一段的平均速度較慢；兩個刻痕之間，轉得快的圓可能已旋轉數圈，因此刻痕並不表示瞬間速度。

容易誤解之處

係數取決於曲線以及沿曲線繞行的方式。心形 $x = 16\sin^3 t$ 、 $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ 若依它本身的 $t$ 繞行，恰好只有8個非零項；若以等速繞行，同一個心形需要21個圓才能將誤差降至低於1%。
圓鏈的順序改變的是它的外觀，而非端點的路徑：總和不取決於各項的順序。
在正方形或星形等圖形的轉角處，圓的數量較少時，部分和可能會超出圖形，但這種超出量會隨著圓的增加而消退（並非每增加一個都會減少）。跳躍不連續處的情況則不同：超出量會持續存在（吉布斯現象）。由於本頁使用 $N$ 個取樣點，即使納入所有項，取樣點之間仍會有微小起伏：半邊長為1的正方形約為0.0007。
光暈、殘影與圓的淡出都只是顯示效果。

歷史

古代天文學家用圓上套圓的均輪與本輪來描述行星運動。一串等速旋轉的圓，恰好就是各項 $c_k e^{2\pi i k t}$ 的總和，這也是為什麼足夠多的本輪能沿著任意封閉路徑運動[2]。傅立葉於1807年為研究熱傳導而提出他的級數[1]。

參考資料

J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

延伸閱讀: 維基百科: Fourier series (英文); MacTutor 數學史資料庫: Joseph Fourier (英文).

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相關概念

參考資料