푸리에 주전원

이 시각화에서의 푸리에 주전원

평면 위의 닫힌 곡선을 한 바퀴 따라가며 각 점을 복소수 $z(t)$로 읽어 봅시다. 한 바퀴 동안 $t$는 0에서 1까지 변합니다. 이 곡선의 복소 푸리에 급수는 $z(t)$를 각 정수 $k$에 대응하는 항 $c_k e^{2\pi i k t}$의 합으로 나타냅니다. 각 항은 반지름 $|c_k|$인 원 위를 한 바퀴당 $k$회 도는 점이며, 시작 각도는 $\arg c_k$입니다. $k$가 음수이면 반대 방향으로 돕니다. 원들을 끝과 시작이 이어지도록 연결하면 마지막 끝점이 그 합을 그립니다. $c_0$는 회전하지 않으며, 연결된 원들의 시작 위치를 나타냅니다.

이 페이지에서 계산하는 것

이 페이지는 곡선의 길이를 따라 균등하게 (하트의 경우에는 수식의 $t$를 균등하게 나누는 방식도 가능) $N = 1024$개의 점에서 표본을 추출하고 이산 계수 $\tilde c_k$를 계산합니다. $N$개의 항을 모두 합치면 $N$개의 표본점을 정확히 통과합니다. 표본점에서의 오차는 $\sqrt{\sum_\text{미사용} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$입니다 ($c_0$ 제외). 이산 파르세발 항등식에 따르면 이는 그려진 곡선과 표본점 사이 거리의 제곱평균제곱근을, 표본점과 그 중심 사이 거리의 제곱평균제곱근으로 나눈 값입니다. 직접 그린 원래 획과 비교한 값은 아닙니다.

원 추가는 $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$와 같이 단계별로 원을 늘리며, 각 단계에서 한 바퀴씩 그립니다. 가장 큰 원부터 (또는 가장 낮은 주파수부터) 추가합니다. 완료된 각 단계는 희미한 잔상으로 남습니다. 단계들이 일치하는 곳에서는 빛이 쌓이고, 아직 일치하지 않는 곳에서는 빛이 퍼집니다. 원 하나는 원을 그리지만, $k = 1$과 $k = -1$의 두 항을 합치면 두 반축의 길이가 $|c_1| + |c_{-1}|$와 $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$인 타원을 만듭니다.

펜의 자취에 있는 눈금은 한 바퀴에 걸리는 시간의 $1/64$ 간격으로 찍힙니다. 눈금이 모인 곳은 그 구간에서 펜이 평균적으로 느리게 움직였다는 뜻입니다. 두 눈금 사이에서도 빠른 원은 여러 번 회전할 수 있으므로 눈금은 순간 속력을 나타내지 않습니다.

오해하기 쉬운 점

• 계수는 곡선뿐 아니라 그 곡선을 따라 움직이는 방식에도 달려 있습니다. 수식 $x = 16\sin^3 t$, $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$으로 주어지는 하트를 수식 자체의 $t$에 따라 그리면 0이 아닌 항은 정확히 8개입니다. 같은 하트를 일정한 속력으로 따라가면 오차를 1 % 미만으로 줄이는 데 원 21개가 필요합니다.
• 연결 순서를 바꾸면 연결된 원들의 모습은 달라지지만 끝점이 지나는 곳은 달라지지 않습니다. 합은 항의 순서에 영향을 받지 않기 때문입니다.
• 정사각형이나 별의 꼭짓점 부근에서는 원이 적을 때 부분합이 모양 밖으로 튀어나올 수 있습니다. 하지만 원을 추가하면 이런 초과 현상은 사라져 갑니다 (원을 하나 추가할 때마다 줄어드는 것은 아닙니다). 점프 불연속에서는 다릅니다. 그곳에서는 초과 현상이 계속 남습니다 (깁스 현상). 이 페이지는 $N$개의 표본점을 사용하므로 모든 항을 포함해도 표본점 사이에 작은 요동이 남습니다. 한 변의 절반이 1인 정사각형에서는 약 0.0007입니다.
• 빛 번짐, 잔상, 원이 희미해지는 효과는 화면 표현일 뿐입니다.

역사

고대 천문학자들은 원 위에 원이 올라탄 형태인 대원과 주전원으로 행성의 움직임을 설명했습니다. 일정하게 회전하는 원들을 연결한 것은 정확히 $c_k e^{2\pi i k t}$ 형태의 항들의 합입니다. 충분히 많은 주전원으로 어떤 닫힌 경로든 따라갈 수 있는 이유가 여기에 있습니다 [2]. 푸리에는 열의 흐름을 연구하기 위해 1807년에 이 급수를 도입했습니다 [1].

관련 개념

복소평면 · 단위원 · 푸리에 급수 (페이지 예정) · 매개변수 방정식 (페이지 예정)

참고 문헌

1. J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
2. N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

더 읽어 보기: Wikipedia: Fourier series (영어); MacTutor 수학사 아카이브: Joseph Fourier (영어).