دوائر فورييه الدوّارة: تصوّر تفاعلي

دوائر فورييه الدوّارة في هذا التصوّر

اجتز منحنى مغلقًا في المستوى مرة واحدة، واقرأ كل نقطة بوصفها عددًا مركّبًا $z(t)$ ، حيث تتغير $t$ من 0 إلى 1 خلال دورة واحدة. تكتب متسلسلة فورييه المركّبة لهذا المنحنى $z(t)$ على هيئة مجموع من الحدود $c_k e^{2\pi i k t}$ ، حد لكل عدد صحيح $k$ . كل حد هو نقطة تدور حول دائرة نصف قطرها $|c_k|$ ، بمقدار $k$ مرات لكل دورة، بدءًا من الزاوية $\arg c_k$ ؛ والقيم السالبة لـ $k$ تدور في الاتجاه الآخر. رتّب الدوائر في سلسلة بحيث تبدأ كل دائرة عند طرف سابقتها، فيرسم الطرف الأخير المجموع. لا يدور $c_0$ : فهو موضع بداية السلسلة.

z(t) = \sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k\, e^{2\pi i k t}:\ \text{نصف القطر } |c_k|,\ k \text{ دورات في كل دورة، بدءًا من } \arg c_k

ما تحسبه الصفحة

تأخذ الصفحة عينات من المنحنى عند $N = 1024$ نقطة، موزّعة بالتساوي على امتداد طوله (أو، للقلب، بالتساوي في $t$ الخاصة بصيغته)، وتحسب المعاملات المتقطّعة $\tilde c_k$ . تمر الحدود $N$ جميعها معًا بالعينات $N$ تمامًا. الخطأ عند العينات هو $\sqrt{\sum_\text{غير مستخدم} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ (من دون $c_0$ ): وفق متطابقة بارسيفال المتقطّعة، هو الجذر التربيعي لمتوسط مربعات المسافات بين المنحنى المرسوم والعينات، مقسومًا على الجذر التربيعي لمتوسط مربعات مسافات العينات عن مركزها. وليس مقارنةً مع خط رسمك الأصلي.

يضيف زر إضافة دوائر الدوائر مستوى بعد مستوى، $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ ، دورة واحدة لكل مستوى، بدءًا بالأكبر (أو بالأدنى ترددًا). يبقى كل مستوى مكتمل كأثر باهت: حيث تتطابق المستويات يتراكم الضوء، وحيث لا تزال تختلف ينتشر. دائرة واحدة ترسم دائرة؛ و $k = 1$ و $k = -1$ معًا يرسمان قطعًا ناقصًا نصفا محوريه $|c_1| + |c_{-1}|$ و $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ .

تفصل بين العلامات على أثر القلم مدة زمنية قدرها $1/64$ من دورة. حيث تتقارب، يكون القلم قد اجتاز ذلك الجزء ببطء في المتوسط؛ وبين علامتين قد تدور دائرة سريعة عدة مرات، لذا لا تبيّن العلامات السرعة في لحظة بعينها.

نقاط يسهل سوء فهمها

ترتبط المعاملات بالمنحنى وبطريقة اجتيازه. القلب $x = 16\sin^3 t$ ، $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ عند اجتيازه وفق $t$ الخاصة به له 8 حدود غير صفرية بالضبط؛ وعند اجتيازه بسرعة ثابتة، يحتاج القلب نفسه إلى 21 دائرة لخفض الخطأ إلى أقل من 1 %.
يغيّر ترتيب السلسلة مظهرها، لا المسار الذي يسلكه طرفها: فالمجموع لا يعتمد على ترتيب حدوده.
عند الزوايا، كما في المربّع أو النجمة، قد تبرز المجاميع الجزئية خارج الشكل حين يكون عدد الدوائر قليلًا، لكن هذا التجاوز يتلاشى مع إضافة الدوائر (وليس مع كل دائرة على حدة). أما القفزات فتتصرف على نحو مختلف: إذ يستمر التجاوز عندها (ظاهرة غيبس). ولأن هذه الصفحة تستخدم $N$ عينة، يبقى تذبذب صغير بين العينات حتى عند إدراج جميع الحدود: نحو 0.0007 للمربّع الذي نصف ضلعه 1.
التوهّج والآثار وتلاشي الدوائر مجرد مؤثرات للعرض.

التاريخ

وصف علماء الفلك القدماء الكواكب بدوائر محمولة على دوائر، هي الفلك الحامل وفلك التدوير. وسلسلة الدوائر التي تدور بانتظام هي بالضبط مجموع حدود $c_k e^{2\pi i k t}$ ، ولهذا يستطيع عدد كافٍ من أفلاك التدوير تتبّع أي مسار مغلق [2]. قدّم فورييه متسلسلته عام 1807 لدراسة تدفّق الحرارة [1].

مفاهيم ذات صلة

المستوى المركّب · دائرة الوحدة · متسلسلة فورييه (صفحة مخطّط لها) · المعادلة البارامترية (صفحة مخطّط لها)

المراجع

J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Fourier series (الإنجليزية); أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات: Joseph Fourier (الإنجليزية).