Epicicli di Fourier: visualizzazione interattiva

Gli epicicli di Fourier in questa visualizzazione

Percorri una volta una curva chiusa nel piano e leggi ogni punto come un numero complesso $z(t)$ , con $t$ che va da 0 a 1 per un giro. La sua serie di Fourier complessa scrive $z(t)$ come somma di termini $c_k e^{2\pi i k t}$ , uno per ogni numero intero $k$ . Ogni termine è un punto che percorre un cerchio di raggio $|c_k|$ , $k$ volte per giro, partendo dall’angolo $\arg c_k$ ; i $k$ negativi ruotano nel verso opposto. Disponi i cerchi collegando ogni centro all’estremità del raggio precedente: l’ultima estremità disegna la somma. $c_0$ non ruota: è il punto da cui parte la catena.

z(t) = \sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k\, e^{2\pi i k t}:\ \text{raggio } |c_k|,\ k \text{ giri per ciclo, con angolo iniziale } \arg c_k

Che cosa calcola la pagina

La pagina campiona la curva in $N = 1024$ punti, equidistanti lungo la sua lunghezza (oppure, per il cuore, a intervalli uguali del $t$ della formula), e calcola i coefficienti discreti $\tilde c_k$ . Tutti i $N$ termini insieme passano esattamente per gli $N$ campioni. L’errore sui campioni è $\sqrt{\sum_\text{non usati} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ (senza $c_0$ ): per l’identità discreta di Parseval è la radice della media dei quadrati delle distanze tra la curva disegnata e i campioni, divisa per la radice della media dei quadrati delle distanze dei campioni dal loro centro. Non è un confronto con il tuo tratto originale.

Aggiungi cerchi aggiunge cerchi livello dopo livello, $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ , un giro per livello, partendo dai più grandi (o dalle frequenze più basse). Ogni livello completato rimane come una traccia tenue: dove i livelli coincidono la luce si accumula, dove ancora differiscono si diffonde. Un cerchio è un cerchio; $k = 1$ e $k = -1$ insieme formano un’ellisse con semiassi $|c_1| + |c_{-1}|$ e $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ .

Le tacche sulla traccia della penna sono separate nel tempo da $1/64$ di giro. Dove si addensano, la penna ha percorso quel tratto in media lentamente; tra due tacche un cerchio veloce può compiere più rotazioni, quindi le tacche non mostrano la velocità istantanea.

Possibili fraintendimenti

I coefficienti dipendono dalla curva e dal modo in cui viene percorsa. Il cuore $x = 16\sin^3 t$ , $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ , percorso secondo il proprio $t$ , ha esattamente 8 termini non nulli; percorso a velocità costante, lo stesso cuore richiede 21 cerchi per scendere sotto l’1 % di errore.
L’ordine della catena ne cambia l’aspetto, non il percorso della sua estremità: una somma non dipende dall’ordine dei suoi termini.
Agli angoli, come nel quadrato o nella stella, le somme parziali possono sporgere oltre la forma quando ci sono pochi cerchi, ma questa sporgenza si attenua aggiungendo cerchi (non a ogni singola aggiunta). Le discontinuità a salto si comportano diversamente: lì la sporgenza persiste (fenomeno di Gibbs). Poiché questa pagina usa $N$ campioni, una piccola oscillazione tra i campioni rimane anche includendo tutti i termini: circa 0,0007 per il quadrato di semilato 1.
Il bagliore, le scie e la dissolvenza dei cerchi sono solo effetti visivi.

Storia

Gli astronomi antichi descrivevano i pianeti con cerchi che si muovevano su altri cerchi, il deferente e l’epiciclo. Una catena di cerchi in rotazione uniforme è esattamente una somma di termini $c_k e^{2\pi i k t}$ : per questo un numero sufficiente di epicicli può seguire qualsiasi percorso chiuso [2]. Fourier introdusse le sue serie nel 1807 per studiare il flusso del calore [1].

Concetti correlati

Piano complesso · Circonferenza unitaria · Serie di Fourier (pagina prevista) · Equazione parametrica (pagina prevista)

Riferimenti

J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

Per approfondire: Wikipedia: Fourier series (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Joseph Fourier (Inglese).