Epiciclos de Fourier: visualização interativa

Os epiciclos de Fourier nesta visualização

Percorre uma vez uma curva fechada no plano e interpreta cada ponto como um número complexo $z(t)$ , com $t$ a variar de 0 a 1 numa volta. A sua série de Fourier complexa escreve $z(t)$ como uma soma de termos $c_k e^{2\pi i k t}$ , um por cada número inteiro $k$ . Cada termo é um ponto que percorre um círculo de raio $|c_k|$ , $k$ vezes por volta, partindo do ângulo $\arg c_k$ ; para valores negativos de $k$ , o ponto roda no sentido oposto. Encadeia os círculos, colocando o centro de cada um na ponta do anterior, e a última ponta desenha a soma. $c_0$ não roda: é onde a cadeia começa.

z(t) = \sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k\, e^{2\pi i k t}:\ \text{raio } |c_k|,\ k \text{ voltas por ciclo, com ângulo inicial } \arg c_k

O que a página calcula

A página recolhe amostras da curva em $N = 1024$ pontos, uniformemente ao longo do seu comprimento (ou, no caso do coração, uniformemente no $t$ da sua fórmula), e calcula os coeficientes discretos $\tilde c_k$ . Todos os $N$ termos em conjunto passam exatamente pelas $N$ amostras. O erro nas amostras é $\sqrt{\sum_\text{não usados} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ (sem $c_0$ ): pela identidade discreta de Parseval, é a raiz da média dos quadrados das distâncias entre a curva desenhada e as amostras, dividida pela raiz da média dos quadrados das distâncias das amostras ao seu centro. Não é uma comparação com o teu traço original.

Adicionar círculos acrescenta círculos nível a nível, $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ , uma volta por nível, começando pelos maiores (ou pelas frequências mais baixas). Cada nível concluído permanece como uma imagem ténue: onde os níveis coincidem, a luz acumula-se; onde ainda diferem, espalha-se. Um círculo é um círculo; $k = 1$ e $k = -1$ juntos fazem uma elipse com semieixos $|c_1| + |c_{-1}|$ e $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ .

As marcas no traço da caneta estão separadas no tempo por $1/64$ de uma volta. Onde se juntam, a caneta percorreu esse trecho lentamente, em média; entre duas marcas, um círculo rápido pode rodar várias vezes, pelo que as marcas não mostram a velocidade num dado instante.

Possíveis equívocos

Os coeficientes pertencem à curva e à forma como é percorrida. O coração $x = 16\sin^3 t$ , $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ , percorrido segundo o seu próprio $t$ , tem exatamente 8 termos não nulos; percorrido a velocidade constante, o mesmo coração precisa de 21 círculos para ficar abaixo de 1 % de erro.
A ordem da cadeia altera o seu aspeto, não o percurso da sua ponta: uma soma não depende da ordem dos seus termos.
Nos cantos, como os do quadrado ou da estrela, as somas parciais podem ultrapassar o contorno da forma enquanto há poucos círculos, mas esse excesso vai desaparecendo à medida que se acrescentam círculos (não a cada círculo individual). Os saltos comportam-se de outra maneira: aí, o excesso persiste (o fenómeno de Gibbs). Como esta página usa $N$ amostras, resta uma pequena oscilação entre amostras mesmo com todos os termos incluídos: cerca de 0,0007 para o quadrado com metade do lado igual a 1.
O brilho, os rastos e o esbatimento dos círculos são apenas efeitos visuais.

História

Os astrónomos da Antiguidade descreviam os planetas com círculos que se moviam sobre outros círculos, o deferente e o epiciclo. Uma cadeia de círculos em rotação uniforme é exatamente uma soma de termos $c_k e^{2\pi i k t}$ , razão pela qual um número suficiente de epiciclos pode seguir qualquer trajetória fechada [2]. Fourier introduziu as suas séries em 1807 para o fluxo de calor [1].

Conceitos relacionados

Plano complexo · Circunferência unitária · Séries de Fourier (página prevista) · Equação paramétrica (página prevista)

Referências

J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

Para saber mais: Wikipédia: Fourier series (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Joseph Fourier (Inglês).