フーリエ級数と周転円

この可視化におけるフーリエ級数と周転円

平面上の閉じた曲線を一周し、各点を複素数 $z(t)$ として読み取ります。一周する間に $t$ は0から1まで変わります。その複素フーリエ級数は、$z(t)$ を各整数 $k$ に対応する項 $c_k e^{2\pi i k t}$ の和で表します。各項は、半径 $|c_k|$ の円を、角度 $\arg c_k$ から出発して一周につき $k$ 回まわる点です。$k$ が負なら逆向きに回ります。各円の先端に次の円の中心をつなぐと、最後の先端がその和を描きます。$c_0$ は回転せず、円の連なりの出発点になります。

このページで計算していること

このページでは、曲線の長さに沿って等間隔に（ハートの場合は、数式の $t$ について等間隔にも）、$N = 1024$ 個の点をサンプリングし、離散係数 $\tilde c_k$ を計算します。$N$ 個の項をすべて合わせると、$N$ 個のサンプル点を正確に通ります。サンプル点での誤差は $\sqrt{\sum_\text{未使用} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$（$c_0$ を除く）です。離散パーセバルの等式により、これは描かれた曲線とサンプル点との距離の二乗平均平方根を、サンプル点からその中心までの距離の二乗平均平方根で割ったものです。元の手描きの線との比較ではありません。

円を追加では、$M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ と段階ごとに円を増やし、各段階で一周します。半径の大きい順（または周波数の低い順）に追加します。描き終わった各段階の軌跡は、淡い残像として残ります。段階どうしが一致する場所では光が重なり、まだ一致しない場所では光が広がります。円が1個なら円を描き、$k = 1$ と $k = -1$ を合わせると、半軸の長さが $|c_1| + |c_{-1}|$ と $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ の楕円を描きます。

ペンの軌跡上の目盛は、一周にかかる時間の $1/64$ ごとに付いています。目盛が密集している場所では、その区間でのペンの速さが平均的に遅かったことを示します。ただし、速く回る円は2つの目盛の間に何回も回転できるため、目盛は瞬間の速さを示すものではありません。

誤解しやすいこと

• 係数は曲線だけでなく、そのたどり方にも依存します。ハート $x = 16\sin^3 t$, $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ を数式自身の $t$ に従ってたどると、非ゼロの項はちょうど8個です。同じハートでも一定の速さでたどると、誤差を 1 % 未満にするには21個の円が必要です。
• 円をつなぐ順序を変えると見た目は変わりますが、先端のたどる道は変わりません。和は項を足す順序に依存しないからです。
• 正方形や星のように角がある図形では、円が少ないうちは部分和が図形の外にはみ出すことがあります。しかし、このはみ出しは円を増やすにつれて小さくなります（1個増やすたびに小さくなるわけではありません）。不連続な跳びがある場合は異なり、はみ出しが残ります（ギブス現象）。このページでは $N$ 個のサンプル点を使うため、すべての項を含めてもサンプル点の間には小さな揺れが残ります。一辺の半分が1の正方形では約0.0007です。
• 光のにじみ、軌跡、円が薄くなる効果は、表示上の演出にすぎません。

歴史

古代の天文学者は、円の上に円を載せた従円と周転円で惑星の動きを記述しました。それぞれ一定の速さで回る円の連なりは、まさに項 $c_k e^{2\pi i k t}$ の和です。そのため、十分な数の周転円があれば、どんな閉じた経路でもたどれます [2]。フーリエは1807年に、熱の流れを扱うためにこの級数を導入しました [1]。

関連する概念

複素平面 · 単位円 · フーリエ級数（ページ作成予定） · パラメータ方程式（ページ作成予定）

参考文献

1. J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
2. N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

さらに読む: ウィキペディア: Fourier series (英語); MacTutor数学史アーカイブ: Joseph Fourier (英語).