Episiklus Fourier

Episiklus Fourier dalam visualisasi ini

Telusuri kurva tertutup di bidang satu kali dan baca setiap titik sebagai bilangan kompleks $z(t)$, dengan $t$ dari 0 hingga 1 untuk satu putaran. Deret Fourier kompleks kurva tersebut menyatakan $z(t)$ sebagai jumlah suku-suku $c_k e^{2\pi i k t}$, satu untuk setiap bilangan bulat $k$. Setiap suku adalah titik yang mengelilingi lingkaran berjari-jari $|c_k|$, sebanyak $k$ kali per putaran, dimulai pada sudut $\arg c_k$; $k$ negatif berputar ke arah sebaliknya. Rangkai lingkaran-lingkaran dari ujung ke pangkal dan ujung terakhir menggambar hasil penjumlahannya. $c_0$ tidak berputar: di situlah rangkaian dimulai.

Yang dihitung halaman ini

Halaman ini mengambil sampel kurva pada $N = 1024$ titik, berjarak merata sepanjang kurva (atau, untuk hati, merata dalam $t$ pada rumusnya), lalu menghitung koefisien diskret $\tilde c_k$. Semua $N$ suku secara bersama-sama melewati tepat $N$ sampel tersebut. Galat pada sampel adalah $\sqrt{\sum_\text{tidak digunakan} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ (tanpa $c_0$): menurut identitas Parseval diskret, ini adalah akar rata-rata kuadrat jarak antara kurva yang digambar dan sampel, dibagi akar rata-rata kuadrat jarak sampel dari pusatnya. Ini bukan perbandingan dengan goresan asli Anda.

Tambah lingkaran menambahkan lingkaran tingkat demi tingkat, $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$, masing-masing satu putaran, dimulai dari yang terbesar (atau frekuensi terendah). Setiap tingkat yang selesai tetap terlihat sebagai bayangan samar: di tempat tingkat-tingkat itu berimpit, cahaya menumpuk; di tempat yang masih berbeda, cahaya menyebar. Satu lingkaran menghasilkan lingkaran; $k = 1$ dan $k = -1$ bersama-sama membentuk elips dengan semisumbu $|c_1| + |c_{-1}|$ dan $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$.

Tanda-tanda pada jejak pena memiliki selang waktu $1/64$ putaran. Di tempat tanda-tanda itu berdekatan, pena rata-rata bergerak lambat sepanjang bagian tersebut; di antara dua tanda, lingkaran yang cepat dapat berputar beberapa kali, jadi tanda-tanda itu tidak menunjukkan kecepatan sesaat.

Mudah disalahpahami

• Koefisien bergantung pada kurva dan cara kurva itu ditelusuri. Hati $x = 16\sin^3 t$, $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ yang ditelusuri mengikuti $t$ pada rumusnya memiliki tepat 8 suku tak nol; jika ditelusuri dengan kecepatan konstan, hati yang sama memerlukan 21 lingkaran agar galatnya di bawah 1 %.
• Urutan rangkaian mengubah tampilannya, bukan lintasan ujungnya: hasil penjumlahan tidak bergantung pada urutan suku-sukunya.
• Pada sudut, seperti pada persegi atau bintang, jumlah parsial dapat menonjol keluar dari bentuk saat lingkarannya masih sedikit, tetapi tonjolan ini mereda seiring penambahan lingkaran (bukan pada setiap penambahan satu lingkaran). Lompatan berperilaku berbeda: di sana tonjolannya bertahan (fenomena Gibbs). Karena halaman ini menggunakan $N$ sampel, sedikit riak di antara sampel tetap ada meskipun semua suku disertakan: sekitar 0.0007 untuk persegi dengan setengah sisi 1.
• Pendar, jejak, dan pemudaran lingkaran hanyalah efek tampilan.

Sejarah

Astronom kuno menggambarkan planet-planet dengan lingkaran yang bergerak di atas lingkaran lain, yaitu deferen dan episiklus. Rangkaian lingkaran yang berputar secara seragam tepat merupakan jumlah suku-suku $c_k e^{2\pi i k t}$, sehingga episiklus dalam jumlah yang cukup dapat mengikuti lintasan tertutup apa pun [2]. Fourier memperkenalkan deretnya pada 1807 untuk aliran panas [1].

Konsep terkait

Bidang kompleks · Lingkaran satuan · Deret Fourier (halaman direncanakan) · Persamaan parametrik (halaman direncanakan)

Referensi

1. J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
2. N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Fourier series (Bahasa Inggris); MacTutor: Sejarah Matematika: Joseph Fourier (Bahasa Inggris).