Épicycles de Fourier : visualisation interactive

Les épicycles de Fourier dans cette visualisation

Parcourez une fois une courbe fermée dans le plan et interprétez chaque point comme un nombre complexe $z(t)$ , avec $t$ allant de 0 à 1 pour un tour. Sa série de Fourier complexe écrit $z(t)$ comme une somme de termes $c_k e^{2\pi i k t}$ , un pour chaque entier $k$ . Chaque terme est un point qui parcourt un cercle de rayon $|c_k|$ , $k$ fois par tour, en partant de l’angle $\arg c_k$ ; les $k$ négatifs tournent dans l’autre sens. Assemblez les cercles bout à bout et la dernière extrémité dessine la somme. $c_0$ ne tourne pas : c’est le point de départ de la chaîne.

z(t) = \sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k\, e^{2\pi i k t}:\ \text{rayon } |c_k|,\ k \text{ tours par cycle, avec pour angle initial } \arg c_k

Ce que la page calcule

La page échantillonne la courbe en $N = 1024$ points, régulièrement espacés le long de sa longueur (ou, pour le cœur, régulièrement selon le $t$ de sa formule), et calcule les coefficients discrets $\tilde c_k$ . Les $N$ termes réunis passent exactement par les $N$ échantillons. L’erreur aux échantillons vaut $\sqrt{\sum_\text{inutilisés} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ (sans $c_0$ ) : d’après l’identité de Parseval discrète, c’est la moyenne quadratique des distances entre la courbe dessinée et les échantillons, divisée par la moyenne quadratique des distances des échantillons à leur centre. Ce n’est pas une comparaison avec votre trait d’origine.

Le bouton Ajouter des cercles ajoute des cercles niveau par niveau, $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ , avec un tour à chaque niveau, les plus grands d’abord (ou les plus basses fréquences d’abord). Chaque niveau terminé reste visible comme une trace estompée : là où les niveaux coïncident, la lumière s’accumule ; là où ils divergent encore, elle s’étale. Un cercle donne un cercle ; $k = 1$ et $k = -1$ ensemble donnent une ellipse de demi-axes $|c_1| + |c_{-1}|$ et $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ .

Les graduations sur le tracé du crayon sont espacées dans le temps de $1/64$ de tour. Là où elles se resserrent, le crayon a parcouru ce tronçon lentement en moyenne ; entre deux graduations, un cercle rapide peut tourner plusieurs fois, elles n’indiquent donc pas la vitesse instantanée.

Les confusions à éviter

Les coefficients dépendent de la courbe et de la manière de la parcourir. Le cœur $x = 16\sin^3 t$ , $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ , parcouru selon son propre $t$ , possède exactement 8 termes non nuls ; parcouru à vitesse constante, le même cœur nécessite 21 cercles pour passer sous 1 % d’erreur.
L’ordre de la chaîne change son apparence, pas le trajet de son extrémité : une somme ne dépend pas de l’ordre de ses termes.
Aux coins, comme dans le carré ou l’étoile, les sommes partielles peuvent dépasser la forme lorsqu’il y a peu de cercles, mais ce dépassement s’atténue à mesure que l’on ajoute des cercles (pas à chaque ajout individuel). Les discontinuités par saut se comportent autrement : le dépassement y persiste (c’est le phénomène de Gibbs). Comme cette page utilise $N$ échantillons, une petite oscillation entre les échantillons subsiste même lorsque tous les termes sont inclus : environ 0,0007 pour le carré de demi-côté 1.
La lueur, les traînées et l’estompage des cercles ne sont que des effets d’affichage.

Histoire

Les astronomes de l’Antiquité décrivaient les planètes à l’aide de cercles portés par d’autres cercles : le déférent et l’épicycle. Une chaîne de cercles tournant uniformément est exactement une somme de termes $c_k e^{2\pi i k t}$ , ce qui explique pourquoi un nombre suffisant d’épicycles permet de suivre n’importe quel chemin fermé [2]. Fourier a introduit ses séries en 1807 pour étudier la propagation de la chaleur [1].

Notions associées

Plan complexe · Cercle unité · Séries de Fourier (page prévue) · Équation paramétrique (page prévue)

Références

J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

Pour aller plus loin: Wikipédia: Fourier series (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Joseph Fourier (Anglais).