Fourier episiklleri: Etkileşimli görselleştirme

Bu görselleştirmede Fourier episiklleri

Düzlemde kapalı bir eğriyi bir kez dolaşın ve her noktayı bir karmaşık sayı $z(t)$ olarak okuyun; bir tur boyunca $t$ 0'dan 1'e gider. Eğrinin karmaşık Fourier serisi, $z(t)$ ifadesini her $k$ tam sayısı için bir tane olmak üzere $c_k e^{2\pi i k t}$ terimlerinin toplamı olarak yazar. Her terim, $\arg c_k$ açısından başlayarak yarıçapı $|c_k|$ olan bir çember üzerinde tur başına $k$ kez dönen bir noktadır; negatif $k$ değerleri ters yönde döner. Çemberleri uç uca ekleyin; son uç toplamı çizer. $c_0$ dönmez: zincirin başladığı yerdir.

z(t) = \sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k\, e^{2\pi i k t}:\ \text{yarıçap } |c_k|,\ k \text{ tur/çevrim, başlangıç açısı } \arg c_k

Sayfa ne hesaplıyor?

Sayfa, eğriyi uzunluğu boyunca eşit aralıklı $N = 1024$ noktada (veya kalp için, formülündeki $t$ parametresinde eşit aralıklarla) örnekler ve ayrık $\tilde c_k$ katsayılarını hesaplar. $N$ terimin tümü birlikte $N$ örnek noktasının tam üzerinden geçer. Örnek noktalarındaki hata, $\sqrt{\sum_\text{kullanılmayan} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ ifadesidir ( $c_0$ hariç): ayrık Parseval özdeşliğine göre bu, çizilen eğri ile örnek noktaları arasındaki uzaklıkların karelerinin ortalamasının karekökünün, örnek noktalarının kendi ortak merkezlerine olan uzaklıklarının karelerinin ortalamasının kareköküne bölünmesidir. İlk çizdiğiniz çizgiyle yapılan bir karşılaştırma değildir.

Çember ekle, her düzeyde bir tur olacak şekilde, $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ ile düzey düzey çember ekler; en büyükten (veya en düşük frekanstan) başlar. Tamamlanan her düzey soluk bir iz olarak kalır: düzeylerin örtüştüğü yerlerde ışık birikir, henüz örtüşmedikleri yerlerde yayılır. Tek bir çember, çember çizer; $k = 1$ ve $k = -1$ birlikte yarı eksenleri $|c_1| + |c_{-1}|$ ve $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ olan bir elips oluşturur.

Kalemin izindeki işaretler arasındaki zaman aralığı, bir tur süresinin $1/64$ katıdır. İşaretlerin sıklaştığı yerlerde kalem o bölümde ortalama olarak yavaş ilerlemiştir; iki işaret arasında hızlı bir çember birkaç kez dönebilir, dolayısıyla bu işaretler anlık hızı göstermez.

Kolayca yanlış anlaşılabilecek noktalar

Katsayılar eğriye ve onun nasıl dolaşıldığına aittir. $x = 16\sin^3 t$ , $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ kalbi, kendi $t$ parametresine göre dolaşıldığında tam olarak 8 sıfırdan farklı terime sahiptir; aynı kalp sabit hızla dolaşıldığında %1 hatanın altına inmek için 21 çember gerekir.
Zincirin sırası, ucunun nereye gittiğini değil, zincirin nasıl göründüğünü değiştirir: bir toplam, terimlerinin sırasına bağlı değildir.
Kare veya yıldızdaki gibi köşelerde, az sayıda çember varken kısmi toplamlar şeklin dışına taşabilir; ancak çemberler eklendikçe bu taşma sönümlenir (her bir çember eklendiğinde değil). Sıçramalar farklı davranır: onlarda taşma sürer (Gibbs olgusu). Bu sayfa $N$ örnek noktası kullandığından, tüm terimler dahil edilse bile örnek noktaları arasında küçük bir dalgalanma kalır: yarım kenar uzunluğu 1 olan kare için yaklaşık 0.0007.
Parıltı, izler ve çemberlerin solması yalnızca görsel efektlerdir.

Tarihçe

Antik çağ gökbilimcileri gezegenleri, çemberler üzerinde hareket eden çemberlerle, yani deferent ve episiklle betimlerdi. Düzgün hızla dönen çemberlerden oluşan bir zincir, tam olarak $c_k e^{2\pi i k t}$ terimlerinin toplamıdır; bu yüzden yeterli sayıda episikl herhangi bir kapalı yolu izleyebilir [2]. Fourier, serisini 1807'de ısı akışı için ortaya koydu [1].

İlgili kavramlar

Karmaşık düzlem · Birim çember · Fourier serisi (sayfa planlanıyor) · Parametrik denklem (sayfa planlanıyor)

Kaynaklar

J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

Ek okumalar: Vikipedi: Fourier series (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Joseph Fourier (İngilizce).