Fourier-Epizykel

Fourier-Epizykel in dieser Visualisierung

Durchlaufe eine geschlossene Kurve in der Ebene einmal und lies jeden Punkt als komplexe Zahl $z(t)$, wobei $t$ für einen Umlauf von 0 bis 1 läuft. Ihre komplexe Fourierreihe schreibt $z(t)$ als Summe von Termen $c_k e^{2\pi i k t}$, mit einem Term für jede ganze Zahl $k$. Jeder Term ist ein Punkt, der sich auf einem Kreis mit Radius $|c_k|$ bewegt, $k$-mal pro Umlauf, beginnend beim Winkel $\arg c_k$; negative $k$ drehen sich in die andere Richtung. Hänge die Kreise so aneinander, dass jeder am Endpunkt des vorherigen beginnt, und der letzte Endpunkt zeichnet die Summe. $c_0$ dreht sich nicht: Dort beginnt die Kette.

Was die Seite berechnet

Die Seite tastet die Kurve an $N = 1024$ Punkten ab, gleichmäßig entlang ihrer Länge (oder beim Herzen gleichmäßig im $t$ seiner Formel), und berechnet die diskreten Koeffizienten $\tilde c_k$. Alle $N$ Terme zusammen ergeben eine Kurve, die exakt durch die $N$ Abtastpunkte verläuft. Der Fehler an den Abtastpunkten ist $\sqrt{\sum_\text{ungenutzt} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ (ohne $c_0$): Nach der diskreten Parseval-Identität ist das der quadratische Mittelwert der Abstände zwischen der gezeichneten Kurve und den Abtastpunkten, geteilt durch den quadratischen Mittelwert der Abstände der Abtastpunkte von ihrem Mittelpunkt. Es ist kein Vergleich mit deinem ursprünglichen Zeichenstrich.

Kreise hinzufügen fügt stufenweise Kreise hinzu, $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$, jeweils einen Umlauf lang, die größten zuerst (oder die niedrigsten Frequenzen zuerst). Jede abgeschlossene Stufe bleibt als schwache Spur erhalten: Wo die Stufen übereinstimmen, verstärkt sich das Licht; wo sie noch voneinander abweichen, verteilt es sich. Ein Kreis ergibt einen Kreis; $k = 1$ und $k = -1$ zusammen ergeben eine Ellipse mit den Halbachsen $|c_1| + |c_{-1}|$ und $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$.

Die Markierungen auf der Stiftspur liegen zeitlich $1/64$ eines Umlaufs auseinander. Wo sie dicht beieinanderliegen, hat sich der Stift auf diesem Abschnitt im Mittel langsam bewegt; zwischen zwei Markierungen kann sich ein schneller Kreis mehrmals drehen, daher zeigen sie nicht die momentane Geschwindigkeit.

Leicht misszuverstehen

• Die Koeffizienten gehören zur Kurve und zur Art, wie sie durchlaufen wird. Das Herz $x = 16\sin^3 t$, $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ hat beim Durchlaufen nach seinem eigenen $t$ genau 8 von null verschiedene Terme; bei konstanter Geschwindigkeit braucht dasselbe Herz 21 Kreise, um unter 1 % Fehler zu kommen.
• Die Reihenfolge der Kette verändert ihr Aussehen, nicht die Bahn ihrer Spitze: Eine Summe hängt nicht von der Reihenfolge ihrer Terme ab.
• An Ecken, etwa beim Quadrat oder Stern, können die Partialsummen bei wenigen Kreisen über die Form hinausragen. Dieses Überschwingen klingt jedoch ab, wenn Kreise hinzukommen (nicht mit jedem einzelnen). Bei Sprüngen ist es anders: Dort bleibt das Überschwingen bestehen (das Gibbs-Phänomen). Weil diese Seite $N$ Abtastpunkte verwendet, bleibt selbst mit allen Termen eine kleine Welligkeit zwischen den Abtastpunkten: etwa 0,0007 beim Quadrat mit halber Seitenlänge 1.
• Das Leuchten, die Spuren und das Verblassen der Kreise dienen nur der Darstellung.

Geschichte

Antike Astronomen beschrieben die Planeten mit Kreisen, die auf Kreisen umlaufen: dem Deferenten und dem Epizykel. Eine Kette gleichmäßig rotierender Kreise ist genau eine Summe von Termen $c_k e^{2\pi i k t}$, weshalb genügend Epizykel jeder geschlossenen Bahn folgen können [2]. Fourier führte seine Reihen 1807 zur Beschreibung des Wärmeflusses ein [1].

Verwandte Begriffe

Komplexe Ebene · Einheitskreis · Fourierreihe (Seite geplant) · Parametergleichung (Seite geplant)

Quellen

1. J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
2. N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Fourier series (Englisch); MacTutor zur Geschichte der Mathematik: Joseph Fourier (Englisch).