Epiciclos de Fourier: visualización interactiva

Los epiciclos de Fourier en esta visualización

Recorre una vez una curva cerrada en el plano e interpreta cada punto como un número complejo $z(t)$ , con $t$ de 0 a 1 para una vuelta. Su serie de Fourier compleja expresa $z(t)$ como una suma de términos $c_k e^{2\pi i k t}$ , uno por cada número entero $k$ . Cada término es un punto que recorre un círculo de radio $|c_k|$ , $k$ veces por vuelta, partiendo del ángulo $\arg c_k$ ; los $k$ negativos giran en sentido contrario. Encadena los círculos colocando el centro de cada uno en la punta del anterior y la última punta dibujará la suma. $c_0$ no gira: es donde comienza la cadena.

z(t) = \sum_{k} c_k\, e^{2\pi i k t},\qquad c_k\, e^{2\pi i k t}:\ \text{radio } |c_k|,\ k \text{ vueltas por ciclo, con ángulo inicial } \arg c_k

Qué calcula la página

La página muestrea la curva en $N = 1024$ puntos, distribuidos uniformemente a lo largo de su longitud (o, para el corazón, uniformemente en la $t$ de su fórmula), y calcula los coeficientes discretos $\tilde c_k$ . Los $N$ términos juntos pasan exactamente por las $N$ muestras. El error en las muestras es $\sqrt{\sum_\text{sin usar} |\tilde c_k|^2 / \sum |\tilde c_k|^2}$ (sin $c_0$ ): por la identidad discreta de Parseval, es la raíz de la media de los cuadrados de las distancias entre la curva dibujada y las muestras, dividida por la raíz de la media de los cuadrados de las distancias de las muestras a su centro. No es una comparación con tu trazo original.

Añadir círculos añade círculos nivel a nivel, $M = 1, 2, 4, 8, \ldots$ , con una vuelta en cada nivel, empezando por los más grandes (o por los de menor frecuencia). Cada nivel terminado permanece como una huella tenue: donde los niveles coinciden, la luz se acumula; donde aún difieren, se dispersa. Un círculo es un círculo; $k = 1$ y $k = -1$ juntos forman una elipse de semiejes $|c_1| + |c_{-1}|$ y $\bigl||c_1| - |c_{-1}|\bigr|$ .

Las marcas del trazo del lápiz están separadas en el tiempo por $1/64$ de vuelta. Donde se amontonan, el lápiz recorrió ese tramo despacio en promedio; entre dos marcas, un círculo rápido puede girar varias veces, por lo que no muestran la velocidad en un instante.

Posibles malentendidos

Los coeficientes corresponden a la curva y a la manera de recorrerla. El corazón $x = 16\sin^3 t$ , $y = 13\cos t - 5\cos 2t - 2\cos 3t - \cos 4t$ , recorrido según su propia $t$ , tiene exactamente 8 términos no nulos; recorrido a velocidad constante, el mismo corazón necesita 21 círculos para bajar del 1 % de error.
El orden de la cadena cambia su aspecto, no por dónde pasa su punta: una suma no depende del orden de sus términos.
En las esquinas, como las del cuadrado o la estrella, las sumas parciales pueden sobresalir de la figura mientras hay pocos círculos, pero ese exceso va desapareciendo al añadir círculos (no con cada uno de ellos). Los saltos se comportan de otro modo: en ellos el exceso persiste (el fenómeno de Gibbs). Como esta página usa $N$ muestras, queda una pequeña oscilación entre las muestras incluso con todos los términos incluidos: aproximadamente 0.0007 para el cuadrado de semilado 1.
El resplandor, las estelas y el desvanecimiento de los círculos son solo efectos visuales.

Historia

Los astrónomos de la Antigüedad describían los planetas mediante círculos que se movían sobre otros círculos: el deferente y el epiciclo. Una cadena de círculos que giran uniformemente es exactamente una suma de términos $c_k e^{2\pi i k t}$ , por lo que un número suficiente de epiciclos puede seguir cualquier trayectoria cerrada [2]. Fourier introdujo sus series en 1807 para estudiar el flujo de calor [1].

Conceptos relacionados

Plano complejo · Circunferencia unidad · Series de Fourier (página prevista) · Ecuación paramétrica (página prevista)

Referencias

J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris (1822); the 1807 memoir to the Institut de France.
N. R. Hanson, “The mathematical power of epicyclical astronomy”, Isis 51 (1960) 150–158.

Para saber más: Wikipedia: Fourier series (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Joseph Fourier (Inglés).