フーリエ級数

上のグラフには、周期$2\pi$の関数$f$を黒で、その部分和$S_N$を黄色で描きます。部分和には定数項と、周波数$N$までのすべての余弦・正弦を含めます。中央の帯では$f$に1つのプローブ波を掛け、積と軸の間の符号付き面積を色で示します。下の帯には、こうして求めた係数を、余弦は上、正弦は下に並べます。

$f$にはすべての波が含まれているのに、なぜ1つの面積で1つの係数を取り出せるのでしょうか。1周期全体では、$1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$の異なる2つの波の積は符号付き面積が0になります。一方、正弦や余弦をそれ自身と掛けたときの面積は$\pi$です。したがって、これらの波の和に$\sin kx$を掛けて積分すると、$b_k \sin kx$以外の項がすべて消え、$\pi b_k$が残ります。2つの正弦の例では、帯の中で積を2つに分け、異なる周波数の成分が打ち消し合う様子を示します。波は互いに垂直な軸のように振る舞い、各係数はその軸への射影に当たります。そのため、項を加えても、すでに求めた係数は変わりません。

十分な項を加えると、部分和は跳びのそばで元の関数を越えます。$N$が増えるにつれてピークは細くなり、跳びに近づきますが、オーバーシュートは消えません。矩形波では、上端を越える量が跳びの高さの約8.949%に近づきます。各$S_N$は連続なので、短い区間を使って跳びを横切る必要があり、跳びを含むどの区間でも最大誤差は0に近づけません。ただし、連続性だけで超過量が決まるわけではありません。8.949%という値は部分和を計算すると得られ、区分的に滑らかな関数のどの跳びでも、最終的に同じ割合になります。

滑らかな関数ほど、少ない項で近づけます。ここで$f$は無限に繰り返す関数なので、$\pm\pi$の両端が一致しなければ、そこも跳びになります。部分積分をすると、波に掛かっていた微分が$f$へ移り、因子$1/k$が現れます。跳びがあると、最初の段階で因子$1/k$を含む境界項が残ります。矩形波の係数は$k$が奇数なら$b_k = 4/(k\pi)$、$k$が偶数なら0です。$f$が連続で傾きだけが跳ぶ場合、たとえば三角波の角では、最初の段階はその境界項を残さずに進み、2段階目で項が残るため、係数は$1/k^2$のように減衰します。対数尺度で、棒を破線$1/k$、$1/k^2$と比べてください。

エネルギー表示では、同じ直交性を平方に使います。$f^2$の積分は交差項を含まず、係数の平方に分かれます。$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ 表示されるのは、この合計のうち$S_N$がすでに持つ割合です。残りは同じ積分で測った二乗誤差に当たります。矩形波では$S_1$が約81%、$S_9$が約96%を持ちますが、オーバーシュートはまだ残っています。細いピークが加える面積は小さいからです。部分和は平均的には$f$に近くても、跳びのそばではずれることがあります。