熱方程式

上のグラフは、0から$\pi$までの棒に沿った温度$u$を示します。薄い色が初期状態、黄色が時刻$t$の状態です。青い矢印は各点が温まる、または冷える速さを示します。その下の棒は温度で色分けされ、最下段には各正弦モードの大きさが対数尺度で並びます。両端を断熱すると、余弦モードになります。

曲線が強く曲がる場所ほど、温度が速く変わるのはなぜでしょうか。小さな間隔$h$に対して$u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$が成り立ちます。これは、両隣の平均と$u(x)$の差を$2/h^2$倍したものです。$u_{xx} > 0$の場所では曲線は下に凸で、その点は近くの両隣の平均より低く、温まります。$u_{xx} < 0$の場所では冷えます。直線状の区間では、どれほど熱くても$u_t = 0$です。プローブは近くの両隣とその平均を使ってこれを示せます。跳びや角はすぐに滑らかになり、どの$t > 0$でも温度は滑らかな曲線になります。

細かい波が先に消えるのはなぜでしょうか。単一のモード、つまり両端を0に固定したときの$\sin kx$、または断熱したときの$\cos kx$は、$u_{xx} = -k^2 u$を満たします。形は変わらず、因子$e^{-k^2 t}$に従って小さくなるだけです。波の数が3倍なら、同じ高さで2階微分の大きさは9倍となり、減衰も9倍速くなります。どんな初期温度もこうしたモードの和なので、下の棒は右から順に下がります。モード$k$は$t_k = \ln 10/k^2$を過ぎると初期値の10%未満になります。対数時計では、時間が10倍になるたび、約$\sqrt{10} \approx 3.2$倍幅広いモードが消えます。赤い定規$2\sqrt t$はその尺度を示します。単一のモードの半波長が定規以下なら、残る振幅は最大でも$e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$です。

両端は何を変えるのでしょうか。0に固定した両端は氷に相当し、$u$は氷の温度を基準に測ります。時間がたつと、初期状態に含まれる最も低いモードが形を支配します。初期温度がどこでも非負で、すべて0ではない場合、熱は両端から逃げ、$\int u\,dx$は減り、曲線は$e^{-t}$のように低くなる1つの正弦アーチへ近づきます。断熱した両端には熱が通らないので、$\int u\,dx$は一定です。この場合のモードは余弦で、平均温度を表す$k = 0$のモードは減衰しません。棒全体が平均温度に近づきます。どちらの境界条件も$t = 0$から作用し、初期温度が端で条件に合わなければ、そこですぐに調整されます。両端を氷で挟んだ一様な温度の棒がその例です。