열방정식

위쪽 그래프는 0부터 $\pi$까지 뻗은 막대의 온도 $u$를 보여 줍니다. 초기 상태는 흐리게, 시각 $t$의 상태는 노란색으로 표시합니다. 파란 화살표는 각 점이 따뜻해지거나 차가워지는 속도를 나타냅니다. 아래 막대는 온도에 따라 색칠되며, 맨 아래 줄에는 각 사인 모드의 크기가 로그 눈금으로 표시됩니다. 양 끝이 단열되어 있으면 코사인 모드가 표시됩니다.

곡선이 많이 휘어진 곳에서 온도가 가장 빨리 변하는 이유는 무엇일까요? 작은 간격 $h$에 대해 $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$입니다. 두 이웃의 평균에서 $u(x)$의 값을 뺀 차이에 $2/h^2$에 해당하는 계수를 곱한 것입니다. $u_{xx} > 0$인 곳에서는 곡선이 아래로 볼록하고, 해당 점은 가까운 이웃들의 평균보다 낮아 따뜻해집니다. $u_{xx} < 0$인 곳에서는 차가워집니다. 직선 구간에서는 아무리 뜨거워도 $u_t = 0$입니다. 탐침은 가까운 두 이웃과 그 평균으로 이를 보여 줍니다. 점프와 모서리는 곧바로 매끄러워집니다. $t > 0$이면 온도는 매끄러운 곡선입니다.

작은 물결이 먼저 사라지는 이유는 무엇일까요? 단일 모드, 즉 양 끝이 0으로 고정되었을 때의 $\sin kx$ 또는 단열되었을 때의 $\cos kx$에 대해서는 $u_{xx} = -k^2 u$가 성립합니다. 따라서 모양을 유지하고 $e^{-k^2 t}$에 해당하는 인자만큼 줄어듭니다. 물결 수가 3배이면 같은 높이에서 이계도함수의 크기가 9배이며 감소도 9배 빠릅니다. 모든 초기 온도는 이러한 모드의 합이므로 아래 막대들은 오른쪽부터 내려갑니다. 모드 $k$의 크기는 $t_k = \ln 10/k^2$ 이후 초기값의 10% 아래로 떨어집니다. 로그 시계에서는 시간이 10배가 될 때마다 약 $\sqrt{10} \approx 3.2$배 더 넓은 모드가 사라집니다. 빨간 자의 길이 $2\sqrt t$로 이 규모를 나타냅니다. 단일 모드의 반파장이 자의 길이 이하이면 진폭은 최대 $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$만 남습니다.

양 끝은 무엇을 바꿀까요? 0으로 고정한 양 끝은 얼음에 해당하며, 온도 $u$의 기준은 얼음의 온도입니다. 시간이 지나면 초기 상태에 들어 있는 가장 낮은 모드가 모양을 지배합니다. 초기 온도가 어디서도 음수가 아니고 모든 곳에서 0인 것도 아니라면, 열은 양 끝으로 빠져나가고 $\int u\,dx$의 값은 줄며, 곡선은 $e^{-t}$에 따라 낮아지는 사인 아치 하나가 됩니다. 단열된 양 끝으로는 열이 통과하지 않아 $\int u\,dx$의 값이 일정합니다. 이때 모드는 코사인이며, 평균 온도인 $k = 0$ 모드는 감소하지 않습니다. 막대 전체가 평균 온도로 다가갑니다. 두 경계 조건 모두 $t = 0$부터 작용합니다. 양 끝에 얼음을 댄 균일한 막대처럼 초기 온도가 끝에서 조건에 맞지 않으면, 그곳에서 즉시 조건에 맞게 조정됩니다.