熱方程式

上方圖形顯示從0到$\pi$的桿上溫度$u$：淡色是初始狀態，黃色是時刻$t$。藍色箭頭表示各點升溫或降溫的快慢。下方的桿依溫度著色，最下面一排以對數刻度顯示各正弦模式的大小（兩端絕熱時則是餘弦模式）。

為什麼曲線彎得越厲害的地方，溫度變化越快？取小步長$h$，有$u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$：也就是兩個鄰點的平均值與$u(x)$之差，再乘上$2/h^2$。當$u_{xx} > 0$，曲線向上彎，該點低於附近兩個鄰點的平均，因此升溫；當$u_{xx} < 0$，則降溫。在直線段上，無論多熱都有$u_t = 0$。探針可以用附近兩個鄰點與其平均值展示這個關係。跳躍與尖角會立刻變平滑：只要$t > 0$，溫度就是平滑曲線。

為什麼細小的起伏先消失？單一模式（兩端維持0時的$\sin kx$，或兩端絕熱時的$\cos kx$）滿足$u_{xx} = -k^2 u$，所以形狀不變，只按因子$e^{-k^2 t}$整體縮小。起伏數量變成3倍，同樣高度下的二階導數大小就變成9倍，衰減也快9倍。任何初始溫度都可寫成這些模式的和，所以最下面的長條從右側開始下降：模式$k$在$t_k = \ln 10/k^2$之後，剩不到初始大小的10%。在對數時鐘下，時間每增加至10倍，被抹平的模式就寬約$\sqrt{10} \approx 3.2$倍。紅尺$2\sqrt t$表示這個尺度：單一模式的半波長不超過尺長時，振幅最多剩$e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$。

兩端會改變什麼？維持0的兩端相當於冰，$u$以冰的溫度為基準。隨時間推移，初始狀態中存在的最低頻模式主導形狀。若初始溫度處處非負、且不全為零，熱從兩端流出，$\int u\,dx$下降，曲線變成按$e^{-t}$降低的單一正弦拱。絕熱兩端不讓熱通過，因此$\int u\,dx$不變。此時模式為餘弦，$k = 0$模式就是平均溫度，永遠不衰減：桿最後各處都趨近平均溫度。兩種邊界條件都從$t = 0$起作用；若初始溫度在端點不符合條件，例如兩塊冰之間溫度均勻的桿，端點就會立即調整至符合條件。