傅立葉級數

上方圖形以墨色畫出週期為$2\pi$的函數$f$，以黃色畫出部分和$S_N$：常數項加上頻率不超過$N$的全部餘弦與正弦。中間的圖將$f$乘上一個探針波，並以陰影表示乘積曲線與橫軸之間的有向面積。最下方排列這樣量出的係數，餘弦在上，正弦在下。

$f$同時包含所有波，為什麼一個面積能挑出一個係數？在完整週期上，$1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$中任意兩個不同的波相乘，有向面積都是0；正弦或餘弦乘上自己，面積則是$\pi$。因此，將這些波的和乘上$\sin kx$再積分，除了$b_k \sin kx$外，其餘各項都消去，只留下$\pi b_k$。在兩個正弦組成的精選視角中，中間的圖將乘積拆成兩部分，另一個頻率的部分會正負抵消。這些波就像互相垂直的座標軸，各係數是對應軸上的投影，因此加進新的一項不會改變已量出的係數。

項數足夠多時，部分和會在跳躍旁過衝。隨著$N$增加，峰會變窄並靠近跳躍，但過衝不會消失：方波超出頂端的高度，趨近跳躍幅度的約8.949%。每個$S_N$都連續，因此必須在一小段距離內跨過跳躍；在任何包含跳躍的區間上，最大誤差都不可能趨近0。單靠連續性無法決定過衝大小：8.949%來自部分和的計算，分段平滑函數的每個跳躍最後都有相同的比例。

越平滑的函數需要的項越少。這裡的$f$指無限重複的函數，所以$\pm\pi$兩端接不起來，也算一個跳躍。分部積分將微分從波移到$f$上，並帶出因子$1/k$。遇到跳躍時，第一次分部積分就留下含因子$1/k$的邊界項：方波在$k$為奇數時有$b_k = 4/(k\pi)$，在$k$為偶數時則為0。若$f$連續，只有斜率跳躍，例如三角波的尖角，第一次分部積分不留下該邊界項，第二次才留下，因此係數按$1/k^2$衰減。切換對數刻度，比較長條與$1/k$、$1/k^2$兩條虛線。

能量讀數將同樣的垂直關係用於平方。$f^2$的積分可分解為係數的平方和，沒有交叉項：$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$讀數顯示$S_N$已占總量的多少；剩下的就是以相同方式量測的誤差平方。對方波，$S_1$約占81%，$S_9$約占96%，過衝卻仍存在：很窄的峰只增加少許面積。部分和可以在平均意義上很接近$f$，卻在跳躍附近仍有明顯偏差。