Fourierreihe

Oben erscheint eine Funktion $f$ mit Periode $2\pi$ in Tintenfarbe, ihre Teilsumme $S_N$ in Gelb: der konstante Term und alle Kosinus- und Sinusterme bis zur Frequenz $N$. Der Streifen darunter multipliziert $f$ mit einer Sondenwelle und schattiert die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen Produkt und Achse. Unten stehen die so gefundenen Koeffizienten, Kosinus oben und Sinus unten.

Warum wählt eine Fläche genau einen Koeffizienten aus, obwohl $f$ alle Wellen zugleich enthält? Über eine volle Periode hat das Produkt zweier verschiedener Wellen aus $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ die vorzeichenbehaftete Fläche null. Ein Sinus oder Kosinus mit sich selbst multipliziert hat dagegen die Fläche $\pi$. Multipliziert man eine Summe dieser Wellen mit $\sin kx$ und integriert, verschwinden daher alle Terme außer $b_k \sin kx$; übrig bleibt $\pi b_k$. Im Beispiel mit zwei Sinuswellen zerlegt der Streifen das Produkt in zwei Teile. Der Anteil mit der anderen Frequenz hebt sich selbst auf. Die Wellen verhalten sich wie senkrechte Achsen, und jeder Koeffizient ist die Projektion auf eine davon. Ein neuer Term verändert deshalb die bereits gemessenen Koeffizienten nicht.

Mit genügend Termen schwingen die Teilsummen neben einem Sprung über. Wenn $N$ wächst, wird die Spitze schmaler und rückt an den Sprung, doch das Überschwingen verschwindet nicht: Bei der Rechteckwelle nähert sich der Überschuss etwa 8.949% der Sprunghöhe. Jede Teilsumme $S_N$ ist stetig und muss den Sprung daher über ein kurzes Stück überbrücken. Auf jedem Intervall, das den Sprung enthält, kann ihr größter Fehler deshalb nicht gegen 0 gehen. Stetigkeit allein legt die Höhe nicht fest: Die 8.949% ergeben sich aus der Berechnung der Teilsummen. Jeder Sprung einer stückweise glatten Funktion führt letztlich zu demselben Anteil.

Glattere Funktionen brauchen weniger Terme. Hier bezeichnet $f$ die unendlich oft wiederholte Funktion. Nicht zusammenpassende Enden bei $\pm\pi$ bilden daher ebenfalls einen Sprung. Partielle Integration verlagert die Ableitung von der Welle auf $f$ und liefert einen Faktor $1/k$. Bei einem Sprung hinterlässt schon der erste Schritt einen Randterm mit Faktor $1/k$: Für ungerades $k$ hat die Rechteckwelle $b_k = 4/(k\pi)$, für gerades $k$ den Wert 0. Ist $f$ stetig und springt nur die Steigung, wie an den Ecken der Dreieckwelle, gelingt der erste Schritt ohne diesen Randterm; erst der zweite hinterlässt ihn. Die Koeffizienten fallen deshalb wie $1/k^2$. Vergleiche auf der logarithmischen Skala die Balken mit den gestrichelten Linien $1/k$ und $1/k^2$.

Die Energieanzeige wendet dieselbe Rechtwinkligkeit auf Quadrate an. Das Integral von $f^2$ zerfällt in die Quadrate der Koeffizienten, ohne gemischte Terme: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ Angezeigt wird, welchen Anteil dieser Gesamtenergie $S_N$ bereits enthält. Der Rest ist der auf dieselbe Weise gemessene quadratische Fehler. Bei der Rechteckwelle enthält $S_1$ etwa 81% und $S_9$ etwa 96%, obwohl das Überschwingen bleibt: Eine schmale Spitze trägt wenig Fläche bei. Eine Teilsumme kann $f$ im Mittel nahekommen und trotzdem am Sprung stark abweichen.