Série de Fourier

O gráfico superior mostra a preto uma função $f$ de período $2\pi$ e a amarelo a sua soma parcial $S_N$: o termo constante e todos os cossenos e senos até à frequência $N$. A faixa central multiplica $f$ por uma onda sonda e sombreia a área com sinal entre o produto e o eixo. A faixa inferior apresenta os coeficientes assim obtidos, os dos cossenos em cima e os dos senos em baixo.

Porque é que uma área isola um coeficiente, se $f$ contém todas as ondas ao mesmo tempo? Num período completo, o produto de duas ondas diferentes de $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ tem área com sinal nula, enquanto um seno ou cosseno multiplicado por si próprio tem área $\pi$. Multiplicar uma soma destas ondas por $\sin kx$ e integrar elimina, por isso, todos os termos exceto $b_k \sin kx$, deixando $\pi b_k$. No exemplo dos dois senos, a faixa divide o produto em duas partes, e a parte correspondente à outra frequência anula-se a si própria. As ondas comportam-se como eixos perpendiculares, e cada coeficiente é a projeção sobre um deles; acrescentar um termo nunca altera os coeficientes já encontrados.

Com termos suficientes, as somas parciais ultrapassam a função junto a um salto. À medida que $N$ aumenta, o pico estreita-se e aproxima-se do salto, mas a sobre-elevação não desaparece: na onda quadrada, o excesso tende para cerca de 8.949% da altura do salto. Cada $S_N$ é contínua, pelo que tem de atravessar o salto num pequeno intervalo, e o seu erro máximo não pode tender para 0 em nenhum intervalo que contenha o salto. A continuidade, por si só, não determina a dimensão do excesso: os 8.949% resultam do cálculo das somas parciais, e todos os saltos de uma função suave por partes acabam por apresentar a mesma proporção.

As funções mais suaves precisam de menos termos. Aqui, $f$ é a função repetida indefinidamente, pelo que extremos em $\pm\pi$ que não coincidam também formam um salto. A integração por partes transfere a derivada da onda para $f$ e introduz um fator $1/k$. Perante um salto, o primeiro passo deixa um termo de fronteira com um fator $1/k$: na onda quadrada, os coeficientes são $b_k = 4/(k\pi)$ para $k$ ímpar e 0 para $k$ par. Se $f$ for contínua mas o seu declive tiver saltos, como nos cantos da onda triangular, o primeiro passo decorre sem esse termo de fronteira e o segundo deixa-o; por isso, os coeficientes decrescem como $1/k^2$. Na escala logarítmica, compare as barras com as linhas tracejadas $1/k$ e $1/k^2$.

O indicador de energia aplica a mesma perpendicularidade aos quadrados. A integral de $f^2$ decompõe-se nos quadrados dos coeficientes, sem termos cruzados: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ O indicador mostra a fração desse total já contida em $S_N$; o resto é o seu erro ao quadrado, medido pela mesma integral. Na onda quadrada, $S_1$ contém cerca de 81% e $S_9$ cerca de 96%, embora a sobre-elevação persista: um pico estreito contribui pouco para a área. Uma soma parcial pode estar próxima de $f$ em média e continuar a afastar-se dela junto a um salto.