متسلسلة فورييه

يعرض الرسم العلوي الدالة $f$ ذات الدورة $2\pi$ بالأسود، ومجموعها الجزئي $S_N$ بالأصفر: الحد الثابت وجميع الجيوب وجيوب التمام حتى التردد $N$. يضرب الشريط الأوسط $f$ في موجة مسبار واحدة ويظلل المساحة الموقعة بين حاصل الضرب والمحور. ويعرض الشريط السفلي المعاملات الناتجة بهذه الطريقة، معاملات جيب التمام في الأعلى ومعاملات الجيب في الأسفل.

لماذا تختار مساحة واحدة معاملًا واحدًا، مع أن $f$ تحتوي على جميع الموجات معًا؟ على دورة كاملة، تكون المساحة الموقعة لحاصل ضرب أي موجتين مختلفتين من $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ صفرًا، بينما تكون مساحة جيب أو جيب تمام مضروب في نفسه $\pi$. لذا فإن ضرب مجموع هذه الموجات في $\sin kx$ ثم تكامله يزيل جميع الحدود عدا $b_k \sin kx$، ويترك $\pi b_k$. في مثال الجيبين، يقسم الشريط حاصل الضرب إلى جزأين، ويتلاشى الجزء ذو التردد الآخر ذاتيًا. تتصرف الموجات كمحاور متعامدة، وكل معامل هو الإسقاط على أحدها؛ لذلك لا تغير إضافة حد المعاملات التي عُثر عليها سابقًا.

عندما تكفي الحدود، تتجاوز المجاميع الجزئية الدالة بجوار القفزة. مع ازدياد $N$، تضيق القمة وتقترب من القفزة، لكن التجاوز لا يزول: في الموجة المربعة تقترب الزيادة من نحو ⁦8.949%⁩ من ارتفاع القفزة. كل $S_N$ متصل، لذا لا بد أن يعبر القفزة على امتداد فترة قصيرة، ولا يمكن أن يقترب أكبر خطأ له من الصفر على أي فترة تحتوي على القفزة. الاتصال وحده لا يحدد المقدار: تأتي نسبة ⁦8.949%⁩ من حساب المجاميع الجزئية، وتنتهي كل قفزة في دالة ملساء على أجزاء إلى النسبة نفسها.

تحتاج الدوال الأكثر نعومة إلى حدود أقل. المقصود بـ$f$ هنا هو الدالة المكررة بلا نهاية، لذا فإن عدم التقاء الطرفين عند $\pm\pi$ يشكّل قفزة أيضًا. ينقل التكامل بالتجزئة المشتقة من الموجة إلى $f$ ويُخرج عاملًا $1/k$. عند وجود قفزة، تترك الخطوة الأولى حدًا طرفيًا يحوي العامل $1/k$: معاملات الموجة المربعة هي $b_k = 4/(k\pi)$ عندما يكون $k$ فرديًا، وصفر عندما يكون $k$ زوجيًا. إذا كانت $f$ متصلة لكن ميلها يقفز، كما عند زوايا الموجة المثلثية، تمر الخطوة الأولى من دون ذلك الحد الطرفي وتتركه الخطوة الثانية؛ لذا تتناقص المعاملات على نسق $1/k^2$. على المقياس اللوغاريتمي، قارن الأعمدة بالخطين المتقطعين $1/k$ و$1/k^2$.

تطبق قراءة الطاقة التعامد نفسه على المربعات. يتفكك تكامل $f^2$ إلى مربعات المعاملات، من دون حدود مختلطة: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ تعطي القراءة حصة هذا الإجمالي الموجودة بالفعل في $S_N$؛ والباقي هو الخطأ التربيعي، مقاسًا بالتكامل نفسه. في الموجة المربعة، يحمل $S_1$ نحو ⁦81%⁩ ويحمل $S_9$ نحو ⁦96%⁩، مع بقاء التجاوز: فالقمة الضيقة تضيف مساحة قليلة. قد يكون المجموع الجزئي قريبًا من $f$ في المتوسط، ومع ذلك يبتعد عنها بجوار القفزة.