傅里叶级数

上面的主图用墨色画周期为$2\pi$的函数$f$，用黄色画部分和$S_N$：常数项加上频率到$N$为止的全部余弦和正弦。中间一条把$f$乘上一个探针波，给乘积和横轴之间的有向面积涂上阴影。最下面一条把这样量出的系数排开，余弦在上，正弦在下。

$f$里同时含着所有的波，为什么一个面积只挑出一个系数？在一整个周期上，$1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$里任意两个不同的波相乘，面积都是0；正弦或余弦乘它自己，面积是$\pi$。所以把这些波的和乘上$\sin kx$再积分，除了$b_k \sin kx$那一项，其余全部消掉，剩下$\pi b_k$。在两个正弦拼成的那个精选里，中间一条把乘积拆成两部分，频率不同的那部分自己正负抵消。这些波就像互相垂直的坐标轴，每个系数是在其中一条轴上的投影，所以加进新的一项，不会改变已经量出的系数。

项数足够多时，部分和会在跳跃旁冲过头。随着$N$增大，尖峰变窄、靠近跳跃，但过冲不会消失：方波超出顶端的高度趋于跳跃幅度的约8.949%。每个$S_N$都是连续函数，只能在一小段距离里越过跳跃，所以在任何包含跳跃的区间上，它的最大误差都不能趋于0。单凭连续性定不出过冲有多大：8.949%是算部分和算出来的，分段光滑函数的每一个跳跃最后都是这个比例。

越光滑的函数需要的项越少。这里的$f$指周期延拓后的函数，所以$\pm\pi$两端接不上也是一个跳跃。分部积分把导数从波挪到$f$上，同时带出一个因子$1/k$。有跳跃时，第一次分部积分就留下带因子$1/k$的边界项：方波的系数在$k$为奇数时是$b_k = 4/(k\pi)$，为偶数时是0。如果$f$连续、只是斜率有跳跃，像三角波的尖角，第一次能顺利做完，第二次才留下边界项，系数按$1/k^2$变小。在对数刻度下，把柱和$1/k$、$1/k^2$两条虚线比一比。

能量读数把同样的垂直关系用在平方上。$f^2$的积分分解成各系数的平方和，没有交叉项：$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$读数给出$S_N$已经占了这个总量的多少，剩下的就是它的误差平方，按同样的方式量。方波的$S_1$约占81%，$S_9$约占96%，而尖峰还在：很窄的尖峰面积很小。部分和可以在平均意义上很接近$f$，却在跳跃附近仍然差得很远。