Serie de Fourier

El gráfico superior muestra en negro una función $f$ de periodo $2\pi$ y en amarillo su suma parcial $S_N$: el término constante y todos los cosenos y senos hasta la frecuencia $N$. La franja central multiplica $f$ por una onda sonda y sombrea el área con signo entre el producto y el eje. La franja inferior presenta los coeficientes obtenidos así, los de coseno arriba y los de seno abajo.

¿Por qué un área permite aislar un coeficiente si $f$ contiene todas las ondas a la vez? En un periodo completo, el producto de dos ondas distintas de $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ tiene área con signo nula, mientras que un seno o un coseno multiplicado por sí mismo tiene área $\pi$. Por tanto, multiplicar una suma de estas ondas por $\sin kx$ e integrar elimina todos los términos salvo $b_k \sin kx$ y deja $\pi b_k$. En el ejemplo de los dos senos, la franja divide el producto en dos y la parte de la otra frecuencia se cancela consigo misma. Las ondas se comportan como ejes perpendiculares y cada coeficiente es la proyección sobre uno de ellos; por eso, añadir un término nunca cambia los coeficientes ya obtenidos.

Con suficientes términos, las sumas parciales sobrepasan la función junto a un salto. Al aumentar $N$, el pico se estrecha y se acerca al salto, pero la sobreoscilación no desaparece: en la onda cuadrada, el exceso tiende a aproximadamente el 8.949% de la altura del salto. Cada $S_N$ es continua, así que debe recorrer el salto en un pequeño intervalo, y su error máximo no puede tender a 0 en ningún intervalo que contenga el salto. La continuidad por sí sola no determina la magnitud: el 8.949% se obtiene al calcular las sumas parciales, y todos los saltos de una función suave a trozos acaban presentando la misma proporción.

Las funciones más suaves necesitan menos términos. Aquí, $f$ es la función repetida indefinidamente: si los extremos en $\pm\pi$ no coinciden, también hay un salto. Al integrar por partes, la derivada pasa de la onda a $f$ y aparece un factor $1/k$. Si hay un salto, el primer paso deja un término de borde con un factor $1/k$: la onda cuadrada tiene $b_k = 4/(k\pi)$ para $k$ impar y 0 para $k$ par. Si $f$ es continua pero su pendiente presenta saltos, como en las esquinas de la onda triangular, el primer paso se completa sin ese término de borde y el segundo lo deja; por eso, los coeficientes decrecen como $1/k^2$. En la escala logarítmica, compara las barras con las líneas discontinuas $1/k$ y $1/k^2$.

El indicador de energía aplica esa misma perpendicularidad a los cuadrados. La integral de $f^2$ se descompone en los cuadrados de los coeficientes, sin términos cruzados: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ El indicador muestra la fracción de ese total que ya contiene $S_N$; el resto es su error al cuadrado, medido con la misma integral. En la onda cuadrada, $S_1$ contiene alrededor del 81% y $S_9$ alrededor del 96%, aunque la sobreoscilación sigue presente: un pico estrecho aporta poca área. Una suma parcial puede estar cerca de $f$ en promedio y seguir alejándose de ella junto a un salto.