Serie di Fourier

Il grafico superiore traccia in nero una funzione $f$ di periodo $2\pi$ e in giallo la sua somma parziale $S_N$: il termine costante e tutti i coseni e seni fino alla frequenza $N$. La fascia centrale moltiplica $f$ per un’onda sonda e colora l’area con segno tra il prodotto e l’asse. La fascia inferiore mostra i coefficienti così trovati, quelli dei coseni sopra e quelli dei seni sotto.

Perché una sola area isola un coefficiente se $f$ contiene tutte le onde insieme? Su un periodo intero, il prodotto di due onde diverse di $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ ha area con segno nulla, mentre un seno o un coseno moltiplicato per sé stesso ha area $\pi$. Moltiplicare una somma di queste onde per $\sin kx$ e integrare elimina quindi tutti i termini tranne $b_k \sin kx$ e lascia $\pi b_k$. Nell’esempio dei due seni, la fascia divide il prodotto in due, e la parte con l’altra frequenza si annulla da sé. Le onde si comportano come assi perpendicolari e ogni coefficiente è la proiezione su uno di essi: aggiungere un termine non cambia mai i coefficienti già trovati.

Con abbastanza termini, le somme parziali oltrepassano la funzione vicino a un salto. Quando $N$ cresce, il picco si restringe e si avvicina al salto, ma la sovraelongazione non scompare: per l’onda quadra, l’eccesso tende a circa l’8.949% dell’altezza del salto. Ogni $S_N$ è continua, quindi deve attraversare il salto in un breve intervallo, e il suo errore massimo non può tendere a 0 su alcun intervallo che contenga il salto. La sola continuità non determina l’entità del fenomeno: l’8.949% deriva dal calcolo delle somme parziali, e ogni salto di una funzione regolare a tratti presenta alla fine la stessa frazione.

Le funzioni più regolari richiedono meno termini. Qui $f$ indica la funzione ripetuta indefinitamente: se gli estremi in $\pm\pi$ non coincidono, formano anch’essi un salto. L’integrazione per parti trasferisce la derivata dall’onda a $f$ e introduce un fattore $1/k$. In presenza di un salto, il primo passaggio lascia un termine al bordo con un fattore $1/k$: per l’onda quadra i coefficienti sono $b_k = 4/(k\pi)$ con $k$ dispari e 0 con $k$ pari. Se $f$ è continua ma la sua pendenza presenta salti, come agli spigoli dell’onda triangolare, il primo passaggio riesce senza quel termine al bordo e il secondo lo lascia; i coefficienti decrescono quindi come $1/k^2$. Sulla scala logaritmica, confronta le barre con le linee tratteggiate $1/k$ e $1/k^2$.

L’indicatore dell’energia applica la stessa perpendicolarità ai quadrati. L’integrale di $f^2$ si scompone nei quadrati dei coefficienti, senza termini incrociati: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ L’indicatore mostra la frazione del totale già contenuta in $S_N$; il resto è il suo errore al quadrato, misurato con lo stesso integrale. Per l’onda quadra, $S_1$ contiene circa l’81% e $S_9$ circa il 96%, mentre la sovraelongazione rimane: un picco stretto aggiunge poca area. Una somma parziale può essere vicina a $f$ in media e continuare a discostarsene vicino a un salto.