Série de Fourier

Le graphique du haut représente en noir une fonction $f$ de période $2\pi$ et en jaune sa somme partielle $S_N$ : le terme constant et tous les cosinus et sinus jusqu’à la fréquence $N$. La bande centrale multiplie $f$ par une onde sonde et colore l’aire algébrique entre le produit et l’axe. La bande du bas présente les coefficients ainsi obtenus, ceux des cosinus en haut et ceux des sinus en bas.

Pourquoi une seule aire isole-t-elle un coefficient alors que $f$ contient toutes les ondes à la fois ? Sur une période entière, le produit de deux ondes différentes de $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ a une aire algébrique nulle, tandis que le carré d’un sinus ou d’un cosinus a une aire de $\pi$. Multiplier une somme de ces ondes par $\sin kx$ puis intégrer élimine donc tous les termes sauf $b_k \sin kx$ et donne $\pi b_k$. Dans l’exemple des deux sinus, la bande sépare le produit en deux, et la partie correspondant à l’autre fréquence se compense elle-même. Les ondes se comportent comme des axes perpendiculaires : chaque coefficient est la projection sur l’un d’eux. Ajouter un terme ne modifie donc jamais les coefficients déjà trouvés.

Avec suffisamment de termes, les sommes partielles dépassent la fonction près d’un saut. Quand $N$ augmente, le pic se resserre et se rapproche du saut, mais le dépassement ne disparaît pas : pour le signal carré, l’excès tend vers environ 8.949% de la hauteur du saut. Chaque $S_N$ est continue ; elle doit donc franchir le saut sur un court intervalle, et son erreur maximale ne peut tendre vers 0 sur aucun intervalle contenant le saut. La continuité seule ne fixe pas l’ampleur du dépassement : les 8.949% proviennent du calcul des sommes partielles, et cette même proportion apparaît à chaque saut d’une fonction régulière par morceaux.

Les fonctions plus régulières demandent moins de termes. Ici, $f$ désigne la fonction répétée indéfiniment : si ses extrémités en $\pm\pi$ ne se rejoignent pas, elles forment aussi un saut. L’intégration par parties transfère la dérivée de l’onde à $f$ et fait apparaître un facteur $1/k$. En présence d’un saut, la première étape laisse un terme de bord contenant un facteur $1/k$ : pour le signal carré, les coefficients valent $b_k = 4/(k\pi)$ lorsque $k$ est impair et 0 lorsque $k$ est pair. Si $f$ est continue mais que sa pente présente des sauts, comme aux coins du signal triangulaire, la première étape s’effectue sans ce terme de bord, qui apparaît à la seconde ; les coefficients décroissent donc en $1/k^2$. Sur l’échelle logarithmique, comparez les barres aux lignes en pointillés $1/k$ et $1/k^2$.

L’affichage de l’énergie applique cette même perpendicularité aux carrés. L’intégrale de $f^2$ se décompose en carrés des coefficients, sans termes croisés : $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ L’affichage indique la part de ce total déjà contenue dans $S_N$ ; le reste est son erreur au carré, mesurée par la même intégrale. Pour le signal carré, $S_1$ en contient environ 81% et $S_9$ environ 96%, alors que le dépassement subsiste : un pic étroit contribue peu à l’aire. Une somme partielle peut être proche de $f$ en moyenne et s’en écarter encore près d’un saut.