Équation de la chaleur

Le graphique supérieur montre la température $u$ le long d’une barre allant de 0 à $\pi$ : en teinte pâle au départ, en jaune à l’instant $t$. Les flèches bleues indiquent à quelle vitesse chaque point se réchauffe ou se refroidit. La bande dessous colore la barre selon sa température ; la rangée du bas indique la taille de chaque mode sinus sur une échelle logarithmique, ou de chaque mode cosinus si les extrémités sont isolées.

Pourquoi la température change-t-elle le plus vite là où la courbe se plie le plus ? Pour un petit pas $h$, $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$ : soit $2/h^2$ fois l’écart entre la moyenne des deux voisins et $u(x)$. Là où $u_{xx} > 0$, la courbe se creuse vers le haut : le point est plus bas que la moyenne de ses proches voisins et se réchauffe. Là où $u_{xx} < 0$, il se refroidit. Sur une portion droite, $u_t = 0$, quelle que soit la température. La sonde peut le montrer avec deux voisins proches et leur moyenne. Sauts et coins deviennent lisses immédiatement : pour tout $t > 0$, le profil de température est une courbe lisse.

Pourquoi les petites ondulations disparaissent-elles d’abord ? Un mode seul, $\sin kx$ avec les extrémités maintenues à 0 ou $\cos kx$ avec les extrémités isolées, vérifie $u_{xx} = -k^2 u$. Il garde donc sa forme et ne fait que diminuer d’un facteur $e^{-k^2 t}$. Trois fois plus d’ondulations donnent, à hauteur égale, une dérivée seconde neuf fois plus grande et une décroissance neuf fois plus rapide. Toute température initiale est une somme de ces modes ; les barres du bas tombent donc en commençant par la droite : le mode $k$ passe sous 10% de sa valeur initiale après $t_k = \ln 10/k^2$. Avec l’horloge logarithmique, chaque multiplication du temps par dix efface des modes environ $\sqrt{10} \approx 3.2$ fois plus larges. La règle rouge $2\sqrt t$ donne cette échelle : un mode seul dont la demi-longueur d’onde ne dépasse pas la règle conserve au plus $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ de son amplitude.

Que changent les extrémités ? Maintenues à 0, elles représentent de la glace, et $u$ est mesurée par rapport à la température de celle-ci. Avec le temps, le mode le plus bas présent au départ domine la forme. Si la température initiale est partout positive ou nulle et n’est pas identiquement nulle, la chaleur sort par les extrémités, $\int u\,dx$ diminue et le profil devient une arche sinusoïdale s’abaissant comme $e^{-t}$. Aucune chaleur ne traverse des extrémités isolées : $\int u\,dx$ reste donc constante. Les modes sont alors des cosinus, et le mode $k = 0$, la température moyenne, ne décroît jamais : toute la barre tend vers sa moyenne. Les deux types de conditions agissent dès $t = 0$. Un profil initial incompatible à une extrémité, comme une barre uniforme entre deux blocs de glace, s’y ajuste immédiatement.