Réaction-diffusion : simulation interactive de Gray-Scott

La réaction-diffusion dans cette visualisation

Un système de réaction-diffusion est un système d’équations aux dérivées partielles décrivant les concentrations de substances qui réagissent entre elles tout en diffusant dans l’espace : chaque concentration $c_i$ évolue sous l’effet d’un terme de réaction et du terme de diffusion $D_i \nabla^2 c_i$ . Lorsque les substances diffusent à des vitesses différentes, un mélange uniforme peut s’organiser en taches, en rayures et en ondes progressives. Ces systèmes servent à modéliser les ondes chimiques, les ondes électriques dans le cœur et, selon un mécanisme proposé, les motifs du pelage animal. Cette page en simule un : le modèle de Gray-Scott.

Le modèle de Gray-Scott

Deux substances réagissent selon A + 2B → 3B : B transforme A en davantage de B. Du A frais est apporté au taux $f$ , et B est éliminé au taux $f + k$ ; A diffuse deux fois plus vite que B.

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

La page fait évoluer ces équations sur une grille, sur votre carte graphique, avec le schéma de Karl Sims (laplacien à neuf points, pas de temps 1, Euler explicite) : une approximation numérique, pas une solution exacte.

Ce que montre l’image

La couleur de chaque point représente un mélange des deux concentrations : la boîte vide (tout A, aucun B) à une extrémité de la palette, l’intérieur d’un motif à l’autre. Les styles et l’éclairage en relief ne servent qu’à l’affichage. La boîte n’a pas de parois : la gauche rejoint la droite et le haut rejoint le bas (un tore), si bien qu’un motif sortant d’un côté revient de l’autre.

À ne pas confondre

Ce qui se développe dépend de la recette $(f, k)$ , de l’ensemencement de la boîte et de son histoire : la plupart des univers démarrent avec des gouttes, des plages ou des fronts d’onde brisés ; seule l’instabilité de Turing part d’un mélange presque uniforme.
La courbe $k = \sqrt{f}/2 - f$ marque la disparition des états stationnaires uniformes contenant B. Elle ne sépare pas les différentes formes de motifs : au-delà, des taches et des ondes peuvent encore se maintenir grâce aux différences de concentration d’un endroit à l’autre.
Sur la carte des paramètres, chaque point possède ses propres $f$ et $k$ (horizontalement, elle mesure $k$ à partir de cette courbe). Les recettes voisines se développent donc côte à côte et diffusent les unes dans les autres : la carte indique approximativement où les motifs existent, pas ce que chaque recette produirait seule dans une boîte.

Histoire

Turing a montré en 1952 que des diffusions inégales peuvent rendre instable un mélange uniforme stable, permettant à des motifs de croître à partir de petites fluctuations [1]. Gray et Scott ont étudié des réactions autocatalytiques dans une cuve agitée et alimentée en continu [2] ; en ajoutant la diffusion, leurs équations donnent le modèle de Gray-Scott. Pearson l’a simulé en deux dimensions en 1993 et a cartographié une douzaine de types de motifs dans le plan $(f, k)$ [3].

Concepts associés

Motif de Turing (page prévue) · Réaction de Belooussov-Jabotinski · Morphogenèse · Formation de motifs

Références

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

Pour aller plus loin: Wikipédia: Reaction–diffusion system (Anglais); MacTutor History of Mathematics: Alan Mathison Turing (Anglais).