Reação–difusão: simulação interativa de Gray–Scott

A reação–difusão nesta visualização

Um sistema de reação–difusão é um conjunto de equações diferenciais parciais para as concentrações de substâncias que reagem entre si enquanto se difundem no espaço: cada concentração $c_i$ varia por um termo de reação somado ao termo de difusão $D_i \nabla^2 c_i$ . Quando as substâncias se difundem a ritmos diferentes, uma mistura uniforme pode organizar-se em manchas, riscas e ondas que se propagam. Estes sistemas modelam ondas químicas, ondas elétricas no coração e, como um dos mecanismos propostos, os padrões da pelagem dos animais. Esta página executa um deles: o modelo de Gray–Scott.

O modelo de Gray–Scott

Duas substâncias reagem segundo A + 2B → 3B: B transforma A em mais B. É fornecido A fresco à taxa $f$ e B é removido à taxa $f + k$ ; A difunde-se duas vezes mais depressa do que B.

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

A página integra estas equações numa grelha na placa gráfica, usando o esquema de Karl Sims (laplaciano de nove pontos, passo temporal 1 e Euler explícito): uma aproximação numérica, não uma solução exata.

O que mostra a imagem

A cor de cada ponto representa uma combinação das duas concentrações: a placa vazia (só A, sem B) está numa extremidade da paleta e o interior de um padrão na outra. Os estilos e a iluminação do relevo servem apenas para a visualização. A placa não tem paredes: a esquerda liga à direita e o topo à base (um toro), pelo que um padrão que sai de um lado regressa pelo outro.

Equívocos frequentes

O que cresce depende da receita $(f, k)$ , da forma como a placa foi semeada e do que aconteceu antes: a maioria dos mundos começa com gotas, manchas ou frentes de onda partidas; só a instabilidade de Turing começa com uma mistura quase uniforme.
A curva $k = \sqrt{f}/2 - f$ marca onde deixam de existir estados estacionários uniformes que contêm B. Não separa diferentes formas de padrão: para além dela, manchas e ondas ainda podem ser mantidas por diferenças de concentração entre locais.
No mapa de parâmetros, cada ponto tem os seus próprios $f$ e $k$ (na horizontal, mede-se $k$ a partir dessa curva), pelo que receitas vizinhas crescem lado a lado e se misturam: o mapa indica aproximadamente onde persistem padrões, não o que cada receita produziria isoladamente numa placa.

História

Turing mostrou em 1952 que difusões desiguais podem tornar instável uma mistura uniforme estável, fazendo crescer padrões a partir de pequenas flutuações [1]. Gray e Scott estudaram reações autocatalíticas num tanque agitado com alimentação contínua [2]; acrescentando difusão às suas equações, obtém-se o modelo de Gray–Scott. Pearson simulou-o em duas dimensões em 1993 e mapeou cerca de uma dúzia de tipos de padrão no plano $(f, k)$ [3].

Conceitos relacionados

Padrão de Turing (página prevista) · Reação de Belousov–Zhabotinsky · Morfogénese · Formação de padrões

Referências

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

Para saber mais: Wikipédia: Reaction–diffusion system (Inglês); MacTutor — História da Matemática: Alan Mathison Turing (Inglês).