反應–擴散

本頁中的反應–擴散

反應–擴散系統是一組偏微分方程式，描述物質一邊在空間中擴散、一邊互相反應時的濃度：每個濃度 $c_i$ 的變化由反應項加上擴散項 $D_i \nabla^2 c_i$ 組成。不同物質以不同速率擴散時，均勻混合物便可能自行形成斑點、條紋與行進波。這類系統用來模擬化學波、心臟中的電波，也是一種解釋動物毛皮花紋的候選機制。本頁執行其中的 Gray–Scott 模型。

Gray–Scott 模型

兩種化學物質依 A + 2B → 3B 反應：B 把 A 轉成更多 B。新的 A 以速率 $f$ 供給，B 以速率 $f + k$ 移除；A 的擴散速度是 B 的兩倍。

本頁使用 Karl Sims 的方案，在顯示卡的網格上逐步計算這些方程式（九點拉普拉斯算子、時間步長 1、顯式歐拉法）：這是數值近似，不是精確解。

畫面呈現什麼

每一點的顏色表示兩種濃度的組合：色盤一端是空培養皿（全是 A，沒有 B），另一端是圖樣內部。風格與浮雕光照只影響顯示。培養皿沒有牆：左邊接右邊，上方接下方（環面），所以離開一側的圖樣會從另一側回來。

容易誤解的地方

• 長出什麼，取決於配方 $(f, k)$、起始播種方式與先前經歷：多數世界從液滴、小塊或破裂波前開始，只有圖靈不穩定性從幾乎均勻的混合物開始。
• 曲線 $k = \sqrt{f}/2 - f$ 是含 B 的均勻穩態不再存在的邊界。它不是不同圖樣形狀的分界：越過它之後，各處的濃度差仍可維持斑點與波。
• 在參數圖上，每一點都有自己的 $f$ 與 $k$（水平方向以該曲線為基準衡量 $k$），因此相鄰配方並排生長、互相滲入：這張圖大致顯示圖樣可以存在的地方，而不是每個配方單獨放在培養皿中會長成什麼。

歷史

圖靈在 1952 年指出，不同速率的擴散可使原本穩定、均勻的混合物變得不穩定，讓圖樣從微小擾動中長出來 [1]。Gray 與 Scott 研究持續供料、攪拌槽中的自催化反應 [2]；加入擴散後，便得到 Gray–Scott 模型。Pearson 在 1993 年進行二維模擬，並在 $(f, k)$ 平面上繪出約十多種圖樣的分布 [3]。

相關概念

圖靈圖樣（頁面規劃中）· 別洛烏索夫–札波丁斯基反應 · 形態發生 · 圖樣形成

參考資料

1. A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
2. P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
3. J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

延伸閱讀: 維基百科: Reaction–diffusion system (英文); MacTutor 數學史資料庫: Alan Mathison Turing (英文).