반응–확산

이 시각화에서 보는 반응–확산

반응–확산계는 공간으로 확산하면서 서로 반응하는 물질들의 농도를 나타내는 편미분방정식계입니다. 각 농도 $c_i$는 반응항과 확산항 $D_i \nabla^2 c_i$의 합에 따라 변합니다. 물질들이 서로 다른 속도로 확산하면 균일한 혼합물에서 반점·줄무늬·이동하는 파동이 생길 수 있습니다. 화학 파동, 심장의 전기 파동, 그리고 동물 털 무늬를 만드는 가능한 원리 중 하나를 모형화하는 데 쓰입니다. 이 페이지에서는 그중 그레이–스콧 모형을 실행합니다.

그레이–스콧 모형 알아보기

두 화학물질은 A + 2B → 3B로 반응합니다. B가 A를 더 많은 B로 바꾸는 것입니다. 새로운 A는 비율 $f$로 공급하고 B는 비율 $f + k$로 제거하며, A는 B보다 두 배 빠르게 확산합니다.

이 페이지는 그래픽 카드의 격자에서 칼 심스의 방식(아홉 점 라플라시안, 시간 간격 1, 명시적 오일러 방법)으로 방정식을 진행합니다. 정확한 해가 아니라 수치 근사입니다.

그림이 보여 주는 것

각 점의 색은 두 농도의 조합을 나타냅니다. 팔레트 한쪽 끝은 빈 용기(A만 있고 B는 없음), 다른 끝은 무늬의 내부입니다. 스타일과 입체 조명은 시각적 표현일 뿐입니다. 용기에는 벽이 없습니다. 왼쪽과 오른쪽, 위와 아래가 이어지는 토러스이므로, 한쪽으로 나간 무늬는 반대쪽에서 돌아옵니다.

헷갈리기 쉬운 점

• 어떤 무늬가 자라는지는 조합 $(f, k)$, 씨앗을 뿌린 방식, 그전의 변화에 달려 있습니다. 대부분의 세계는 물방울, 얼룩, 끊어진 파면에서 시작하고, 튜링 불안정성만 거의 균일한 혼합물에서 시작합니다.
• 곡선 $k = \sqrt{f}/2 - f$는 B를 포함하는 균일한 정상상태가 더 이상 존재하지 않는 곳입니다. 무늬의 모양을 나누는 경계는 아닙니다. 그 너머에서도 위치별 농도 차이가 반점과 파동을 유지할 수 있습니다.
• 매개변수 지도에서는 각 점이 고유한 $f$와 $k$를 가집니다. 가로 방향은 그 곡선을 기준으로 한 $k$의 차이를 나타냅니다. 따라서 이웃한 조합들이 나란히 자라 서로 섞입니다. 지도는 무늬가 대략 어느 영역에 나타나는지 보여 주며, 각 조합을 용기 하나에서 따로 실행했을 때의 모습은 아닙니다.

역사

튜링은 1952년에 서로 다른 확산 속도가 안정적인 균일 혼합물을 불안정하게 만들어 작은 요동에서 무늬가 자랄 수 있음을 보였습니다 [1]. 그레이와 스콧은 계속 공급하고 저어 주는 탱크에서 자기촉매 반응을 연구했습니다 [2]. 그 방정식에 확산을 더한 것이 그레이–스콧 모형입니다. 피어슨은 1993년 이를 이차원으로 시뮬레이션하여 $(f, k)$ 평면에서 약 열두 종류의 무늬를 분류했습니다 [3].

관련 개념

튜링 무늬 (페이지 준비 중) · 벨로우소프–자보틴스키 반응 · 형태형성 · 패턴 형성

참고 문헌

1. A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
2. P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
3. J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

더 읽어 보기: Wikipedia: Reaction–diffusion system (영어); MacTutor 수학사 아카이브: Alan Mathison Turing (영어).