Reazione–diffusione: simulazione interattiva di Gray–Scott

La reazione–diffusione in questa visualizzazione

Un sistema di reazione–diffusione è un insieme di equazioni alle derivate parziali per le concentrazioni di sostanze che reagiscono tra loro mentre si diffondono nello spazio: ogni concentrazione $c_i$ varia attraverso un termine di reazione più il termine di diffusione $D_i \nabla^2 c_i$ . Quando le sostanze si diffondono a velocità diverse, una miscela uniforme può organizzarsi in macchie, strisce e onde viaggianti. Questi sistemi modellano onde chimiche, onde elettriche nel cuore e, come possibile meccanismo, i motivi del mantello degli animali. Questa pagina esegue uno di essi, il modello di Gray–Scott.

Il modello di Gray–Scott

Due sostanze chimiche reagiscono secondo A + 2B → 3B: B trasforma A in altro B. Si immette A fresco al tasso $f$ e si rimuove B al tasso $f + k$ ; A si diffonde due volte più rapidamente di B.

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

La pagina fa evolvere queste equazioni su una griglia nella scheda grafica con lo schema di Karl Sims (laplaciano a nove punti, passo temporale 1, Eulero esplicito): un’approssimazione numerica, non una soluzione esatta.

Cosa mostra l’immagine

Il colore di ogni punto mostra una combinazione delle due concentrazioni: a un estremo della tavolozza il recipiente vuoto (solo A, niente B), all’altro l’interno di un motivo. Gli stili e l’illuminazione in rilievo sono solo effetti visivi. Il recipiente non ha pareti: sinistra si unisce a destra e alto a basso (un toro), quindi un motivo che esce da un lato rientra dall’altro.

Possibili equivoci

Ciò che cresce dipende dalla ricetta $(f, k)$ , dalla semina del recipiente e dalla sua storia: la maggior parte dei mondi parte da gocce, chiazze o fronti d’onda interrotti; solo l’instabilità di Turing parte da una miscela quasi uniforme.
La curva $k = \sqrt{f}/2 - f$ indica dove cessano di esistere stati stazionari uniformi contenenti B. Non separa forme diverse di motivi: oltre quella curva, macchie e onde possono ancora essere sostenute da differenze di concentrazione tra punti diversi.
Sulla mappa dei parametri ogni punto ha i propri $f$ e $k$ (in orizzontale misura $k$ rispetto a quella curva), così ricette vicine crescono fianco a fianco e si mescolano: la mappa indica approssimativamente dove vivono i motivi, non cosa produrrebbe ogni ricetta da sola in un recipiente.

Storia

Nel 1952 Turing mostrò che una diffusione disuguale può rendere instabile una miscela uniforme e stabile, facendo crescere motivi a partire da piccole fluttuazioni [1]. Gray e Scott studiarono reazioni autocatalitiche in un serbatoio agitato e alimentato continuamente [2]; aggiungendo la diffusione, le loro equazioni danno il modello di Gray–Scott. Pearson lo simulò in due dimensioni nel 1993 e individuò circa una dozzina di tipi di motivi sul piano $(f, k)$ [3].

Concetti collegati

Motivo di Turing (pagina in programma) · Reazione di Belousov–Zhabotinsky · Morfogenesi · Formazione di motivi

Riferimenti

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

Per approfondire: Wikipedia: Reaction–diffusion system (Inglese); MacTutor History of Mathematics: Alan Mathison Turing (Inglese).