Reacción–difusión: simulación interactiva de Gray–Scott

La reacción–difusión en esta visualización

Un sistema de reacción–difusión es un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales para las concentraciones de sustancias que reaccionan entre sí mientras se difunden por el espacio: cada concentración $c_i$ cambia por un término de reacción más el término de difusión $D_i \nabla^2 c_i$ . Cuando las sustancias se difunden a ritmos distintos, una mezcla uniforme puede organizarse en manchas, franjas y ondas viajeras. Estos sistemas modelan ondas químicas, ondas eléctricas en el corazón y, como posible mecanismo, las marcas del pelaje animal. Esta página ejecuta uno de ellos, el modelo de Gray–Scott.

El modelo de Gray–Scott

Dos sustancias reaccionan según A + 2B → 3B: B convierte A en más B. Se suministra A fresco a una tasa $f$ y se elimina B a una tasa $f + k$ ; A se difunde el doble de rápido que B.

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

La página integra estas ecuaciones en una retícula en tu tarjeta gráfica con el esquema de Karl Sims (laplaciano de nueve puntos, paso temporal 1, Euler explícito): una aproximación numérica, no una solución exacta.

Qué muestra la imagen

El color de cada punto muestra una combinación de las dos concentraciones: la placa vacía (todo A, sin B) en un extremo de la paleta y el interior de un patrón en el otro. Los estilos y la iluminación de relieve solo afectan a la representación. La placa no tiene paredes: la izquierda conecta con la derecha y la parte superior con la inferior (un toro), por lo que un patrón que sale por un lado reaparece por el otro.

Posibles confusiones

Lo que crece depende de la receta $(f, k)$ , de cómo se sembró la placa y de lo ocurrido antes: la mayoría de los mundos empiezan con gotas, parches o frentes de onda rotos; solo la inestabilidad de Turing parte de una mezcla casi uniforme.
La curva $k = \sqrt{f}/2 - f$ marca dónde dejan de existir los estados estacionarios uniformes que contienen B. No separa una forma de patrón de otra: más allá de ella, las diferencias de concentración entre lugares aún pueden sostener manchas y ondas.
En el mapa de parámetros, cada punto tiene sus propios $f$ y $k$ (horizontalmente mide $k$ desde esa curva), de modo que las recetas vecinas crecen juntas y se mezclan: el mapa indica aproximadamente dónde viven los patrones, no qué produciría cada receta aislada en una placa.

Historia

Turing demostró en 1952 que una difusión desigual puede volver inestable una mezcla uniforme estable, haciendo crecer patrones a partir de pequeñas fluctuaciones [1]. Gray y Scott estudiaron reacciones autocatalíticas en un tanque agitado con alimentación continua [2]; al añadir difusión, sus ecuaciones dan el modelo de Gray–Scott. Pearson lo simuló en dos dimensiones en 1993 y cartografió alrededor de una docena de tipos de patrones en el plano $(f, k)$ [3].

Conceptos relacionados

Patrón de Turing (página prevista) · Reacción de Belousov–Zhabotinsky · Morfogénesis · Formación de patrones

Referencias

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

Para saber más: Wikipedia: Reaction–diffusion system (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: Alan Mathison Turing (Inglés).