Tepkime–Difüzyon: Etkileşimli Gray–Scott Simülasyonu

Bu görselleştirmede tepkime–difüzyon

Bir tepkime–difüzyon sistemi, uzayda yayılırken birbirleriyle tepkimeye giren maddelerin derişimlerini tanımlayan kısmi diferansiyel denklemler kümesidir: her $c_i$ derişimi bir tepkime terimi ile $D_i \nabla^2 c_i$ difüzyon teriminin toplamıyla değişir. Maddeler farklı hızlarda yayıldığında homojen bir karışım kendiliğinden beneklere, çizgilere ve ilerleyen dalgalara ayrışabilir. Kimyasal dalgaları, kalpteki elektrik dalgalarını ve önerilen mekanizmalardan biri olarak hayvanların post desenlerini modellemekte kullanılırlar. Bu sayfa bu sistemlerden biri olan Gray–Scott modelini çalıştırır.

Gray–Scott modeli

İki kimyasal A + 2B → 3B biçiminde tepkimeye girer: B, A'yı daha çok B'ye dönüştürür. Taze A, $f$ hızında beslenir; B, $f + k$ hızında uzaklaştırılır. A, B'den iki kat hızlı yayılır.

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

Sayfa bu denklemleri grafik kartınızda bir ızgara üzerinde Karl Sims'in şemasıyla ilerletir (dokuz noktalı Laplasyen, zaman adımı 1, açık Euler): bu bir sayısal yaklaşımdır, tam çözüm değildir.

Görsel neyi gösteriyor?

Her noktanın rengi iki derişimin bir karışımını gösterir: paletin bir ucunda boş kap (yalnızca A, B yok), diğer ucunda desenin içi bulunur. Stiller ve kabartma aydınlatması yalnızca görseldir. Kabın duvarı yoktur: sol sağa, üst alta bağlanır (bir torus); böylece bir kenardan çıkan desen diğerinden geri gelir.

Yanlış yorumlamaya açık noktalar

Neyin büyüyeceği $(f, k)$ tarifine, kabın nasıl tohumlandığına ve önce neler olduğuna bağlıdır: çoğu dünya damlalarla, lekelerle veya kırık dalga cepheleriyle başlar; yalnızca Turing kararsızlığı neredeyse homojen bir karışımla başlar.
$k = \sqrt{f}/2 - f$ eğrisi, B içeren homojen kararlı durumların varlığının sona erdiği yerdir. Bir desen şeklini diğerinden ayırmaz: eğrinin ötesinde de yerler arasındaki derişim farkları benekleri ve dalgaları sürdürebilir.
Parametre haritasında her noktanın kendi $f$ ve $k$ değeri vardır (yatayda $k$ bu eğriden itibaren ölçülür). Bu yüzden komşu tarifler yan yana büyür ve birbirine sızar: harita her tarifin tek başına bir kapta ne üreteceğini değil, desenlerin kabaca nerelerde yaşayacağını gösterir.

Tarihçe

Turing 1952'de eşit olmayan difüzyonun kararlı, homojen bir karışımı kararsızlaştırabileceğini ve küçük dalgalanmalardan desenler büyütebileceğini gösterdi [1]. Gray ve Scott, sürekli beslenen ve karıştırılan bir tanktaki otokatalitik tepkimeleri incelediler [2]; difüzyon eklendiğinde denklemleri Gray–Scott modelini oluşturur. Pearson 1993'te modeli iki boyutta simüle etti ve $(f, k)$ düzleminde yaklaşık bir düzine desen türünü haritaladı [3].

İlgili kavramlar

Turing deseni (sayfa planlanıyor) · Belousov–Zhabotinsky tepkimesi · Morfogenez · Desen oluşumu

Kaynaklar

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

Ek okumalar: Vikipedi: Reaction–diffusion system (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: Alan Mathison Turing (İngilizce).