Реакция — диффузия: интерактивная модель Грея

Реакция — диффузия в этой визуализации

Система реакции — диффузии — набор уравнений в частных производных для концентраций веществ, которые реагируют друг с другом и диффундируют в пространстве: изменение каждой концентрации $c_i$ складывается из реакционного члена и диффузионного члена $D_i \nabla^2 c_i$ . Когда скорости диффузии различаются, однородная смесь может сама образовать пятна, полосы и бегущие волны. Такие системы моделируют химические волны, электрические волны в сердце и, как один из предложенных механизмов, окраску животных. Здесь работает одна из них — модель Грея — Скотта.

Модель Грея — Скотта

Два вещества реагируют по схеме A + 2B → 3B: B превращает A в новое B. Свежее A подаётся со скоростью $f$ , а B удаляется со скоростью $f + k$ ; A диффундирует вдвое быстрее B.

\begin{aligned} \frac{\partial A}{\partial t} &= D_A \nabla^2 A - AB^2 + f\,(1 - A) \\ \frac{\partial B}{\partial t} &= D_B \nabla^2 B + AB^2 - (k + f)\,B \end{aligned}

Страница пошагово решает эти уравнения на сетке с помощью видеокарты по схеме Карла Симса (девятиточечный лапласиан, шаг времени 1, явный метод Эйлера): это численное приближение, а не точное решение.

Что показывает изображение

Цвет каждой точки отражает сочетание двух концентраций: на одном конце палитры пустая чашка (только A, без B), на другом — внутренняя часть узора. Стили и рельефное освещение служат только для отображения. У чашки нет стенок: левый край соединён с правым, верхний — с нижним (тор), поэтому узор, уходящий с одной стороны, возвращается с другой.

Что легко понять неверно

Результат зависит от рецепта $(f, k)$ , начального заполнения чашки и предшествующей истории: большинство миров начинается с капель, пятен или разорванных волновых фронтов; лишь неустойчивость Тьюринга начинается с почти однородной смеси.
На кривой $k = \sqrt{f}/2 - f$ исчезают однородные стационарные состояния, содержащие B. Она не отделяет один вид узора от другого: за ней пятна и волны всё ещё могут поддерживаться пространственными различиями концентраций.
На карте параметров у каждой точки свои $f$ и $k$ (по горизонтали $k$ отсчитывается от этой кривой), поэтому соседние рецепты растут рядом и перетекают друг в друга: карта примерно показывает, где существуют узоры, а не результат каждого рецепта в отдельной чашке.

История

В 1952 году Тьюринг показал, что различие скоростей диффузии может сделать устойчивую однородную смесь неустойчивой, породив узоры из малых флуктуаций [1]. Грей и Скотт изучали автокаталитические реакции в перемешиваемом реакторе с непрерывной подачей [2]; добавление диффузии к их уравнениям даёт модель Грея — Скотта. В 1993 году Пирсон смоделировал её в двух измерениях и нанёс на плоскость $(f, k)$ около десятка видов узоров [3].

Связанные понятия

Узор Тьюринга (страница планируется) · Реакция Белоусова — Жаботинского · Морфогенез · Образование узоров

Источники

A. M. Turing, “The chemical basis of morphogenesis”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B 237 (1952) 37–72. doi:10.1098/rstb.1952.0012
P. Gray, S. K. Scott, “Autocatalytic reactions in the isothermal, continuous stirred tank reactor: isolas and other forms of multistability”, Chemical Engineering Science 38 (1983) 29–43. doi:10.1016/0009-2509(83)80132-8
J. E. Pearson, “Complex patterns in a simple system”, Science 261 (1993) 189–192. doi:10.1126/science.261.5118.189

Дополнительные материалы: Википедия: Reaction–diffusion system (Английский); Архив истории математики MacTutor: Alan Mathison Turing (Английский).