Уравнение теплопроводности

Верхний график показывает температуру $u$ вдоль стержня от 0 до $\pi$: бледным цветом вначале и жёлтым в момент $t$. Синие стрелки показывают скорость нагрева или охлаждения каждой точки. Полоса ниже окрашивает стержень по температуре, а нижний ряд показывает размер каждой синусоидальной моды в логарифмической шкале; при изолированных концах моды косинусоидальные.

Почему точка меняется быстрее всего там, где кривая сильнее изгибается? Для малого шага $h$ имеем $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$: это разность между средним двух соседей и $u(x)$, умноженная на $2/h^2$. При $u_{xx} > 0$ кривая изгибается вверх: точка ниже среднего своих близких соседей и нагревается. При $u_{xx} < 0$ она остывает. На прямом участке $u_t = 0$, как бы горяч он ни был. Зонд может показать это с помощью двух близких соседей и их среднего. Скачки и углы сглаживаются сразу: при любом $t > 0$ температурная кривая гладкая.

Почему мелкие волны исчезают первыми? Одна мода, $\sin kx$ при концах с температурой 0 или $\cos kx$ при изолированных концах, удовлетворяет $u_{xx} = -k^2 u$. Поэтому она сохраняет форму, уменьшаясь лишь с множителем $e^{-k^2 t}$. Втрое больше волн при той же высоте дают в девять раз большую вторую производную и затухают в девять раз быстрее. Любая начальная температура — сумма таких мод, поэтому столбики внизу падают начиная справа: мода $k$ опускается ниже 10% начального значения после $t_k = \ln 10/k^2$. На логарифмических часах каждое увеличение времени в десять раз убирает моды примерно в $\sqrt{10} \approx 3.2$ раза шире. Красная линейка $2\sqrt t$ задаёт этот масштаб: отдельная мода, у которой половина длины волны не больше линейки, сохраняет не более $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ амплитуды.

Что меняют концы? Поддерживаемые при 0, они изображают лёд, а $u$ отсчитывается от температуры льда. Со временем форму определяет самая низкая мода, присутствовавшая вначале. Если начальная температура нигде не отрицательна и не равна нулю всюду, тепло уходит через концы, $\int u\,dx$ уменьшается, а профиль становится одной синусоидальной дугой, опускающейся как $e^{-t}$. Через изолированные концы тепло не проходит, поэтому $\int u\,dx$ остаётся постоянным. Моды тогда косинусоидальные, а мода $k = 0$, средняя температура, не затухает: весь стержень приближается к своему среднему. Оба вида условий действуют с $t = 0$. Если начальный профиль не соответствует условию на конце, как у равномерно нагретого стержня между льдом, там он сразу подстраивается.