Persamaan panas

Grafik atas menunjukkan suhu $u$ sepanjang batang dari 0 hingga $\pi$: samar pada awal dan kuning pada waktu $t$. Panah biru menunjukkan seberapa cepat setiap titik menghangat atau mendingin. Batang di bawahnya diwarnai menurut suhu, dan baris terbawah menunjukkan ukuran setiap mode sinus pada skala logaritmik, atau mode kosinus saat ujung terisolasi.

Mengapa suatu titik berubah paling cepat di tempat kurva paling melengkung? Untuk langkah kecil $h$, $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$: yakni $2/h^2$ kali selisih antara rata-rata kedua tetangga dan $u(x)$. Saat $u_{xx} > 0$, kurva melengkung ke atas; titik itu berada di bawah rata-rata tetangga dekatnya dan menghangat. Saat $u_{xx} < 0$, titik itu mendingin. Pada bagian lurus, $u_t = 0$, sepanas apa pun bagian itu. Probe dapat menunjukkannya dengan dua tetangga dekat dan rata-ratanya. Lompatan dan sudut langsung menjadi halus: untuk setiap $t > 0$, suhu membentuk kurva halus.

Mengapa gelombang kecil hilang lebih dahulu? Satu mode, $\sin kx$ saat kedua ujung dijaga pada 0 atau $\cos kx$ saat ujung terisolasi, memenuhi $u_{xx} = -k^2 u$. Jadi bentuknya tetap dan hanya menyusut dengan faktor $e^{-k^2 t}$. Gelombang tiga kali lebih rapat memiliki turunan kedua sembilan kali lebih besar pada tinggi yang sama dan meluruh sembilan kali lebih cepat. Setiap suhu awal adalah jumlah mode-mode ini, sehingga batang di baris bawah turun mulai dari kanan: mode $k$ turun di bawah 10% nilai awal setelah $t_k = \ln 10/k^2$. Pada jam logaritmik, setiap kenaikan waktu sepuluh kali lipat menghilangkan mode sekitar $\sqrt{10} \approx 3.2$ kali lebih lebar. Penggaris merah $2\sqrt t$ menunjukkan skala itu: mode tunggal dengan setengah panjang gelombang tidak melebihi penggaris menyimpan paling banyak $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ amplitudonya.

Apa yang diubah oleh kedua ujung? Saat dijaga pada 0, ujung-ujung itu mewakili es, dan $u$ diukur relatif terhadap suhu es. Seiring waktu, mode terendah yang ada dalam kondisi awal mendominasi bentuk. Jika suhu awal tidak pernah negatif dan tidak semuanya nol, panas keluar lewat ujung, $\int u\,dx$ menurun, dan profil menjadi satu lengkungan sinus yang turun seperti $e^{-t}$. Tidak ada panas yang melewati ujung terisolasi, sehingga $\int u\,dx$ tetap. Mode-mode itu kini berupa kosinus, dan mode $k = 0$, yaitu suhu rata-rata, tidak pernah meluruh: seluruh batang mendekati rata-ratanya. Kedua jenis kondisi ujung bekerja sejak $t = 0$. Profil awal yang tidak cocok di ujung, seperti batang bersuhu seragam di antara es, langsung menyesuaikan di sana.