Equação do calor

O gráfico superior mostra a temperatura $u$ ao longo de uma barra de 0 a $\pi$: esbatida no início e amarela no instante $t$. As setas azuis indicam a rapidez com que cada ponto aquece ou arrefece. A barra abaixo é colorida segundo a temperatura, e a linha inferior mostra o tamanho de cada modo seno numa escala logarítmica, ou de cada modo cosseno quando as extremidades estão isoladas.

Porque muda mais depressa um ponto onde a curva se dobra mais? Para um passo pequeno $h$, $u_{xx}(x) \approx \bigl(u(x-h) + u(x+h) - 2u(x)\bigr)/h^2$: ou seja, $2/h^2$ vezes a diferença entre a média dos dois vizinhos e $u(x)$. Onde $u_{xx} > 0$, a curva volta-se para cima: o ponto está abaixo da média dos vizinhos próximos e aquece. Onde $u_{xx} < 0$, arrefece. Num troço reto, $u_t = 0$, por mais quente que esteja. A sonda pode mostrar isto com dois vizinhos próximos e a sua média. Saltos e cantos tornam-se suaves de imediato: para todo $t > 0$, o perfil de temperatura é uma curva suave.

Porque desaparecem primeiro as ondulações finas? Um modo individual, $\sin kx$ com as extremidades a 0 ou $\cos kx$ com extremidades isoladas, satisfaz $u_{xx} = -k^2 u$. Mantém, por isso, a forma e apenas diminui pelo fator $e^{-k^2 t}$. Três vezes mais ondulações dão, à mesma altura, uma segunda derivada nove vezes maior e um decaimento nove vezes mais rápido. Toda a temperatura inicial é uma soma destes modos; as barras em baixo caem, portanto, a partir da direita: o modo $k$ desce abaixo de 10% do valor inicial depois de $t_k = \ln 10/k^2$. No relógio logarítmico, cada multiplicação do tempo por dez elimina modos cerca de $\sqrt{10} \approx 3.2$ vezes mais largos. A régua vermelha $2\sqrt t$ indica essa escala: um modo individual cujo meio comprimento de onda não ultrapasse a régua conserva, no máximo, $e^{-\pi^2/4} \approx 8.48\%$ da amplitude.

O que mudam as extremidades? Mantidas a 0, representam gelo, e $u$ mede-se relativamente à temperatura do gelo. Com o tempo, o modo mais baixo presente no início domina a forma. Se a temperatura inicial nunca for negativa e não for nula em todo o lado, o calor sai pelas extremidades, $\int u\,dx$ diminui e o perfil torna-se um arco sinusoidal que desce como $e^{-t}$. Pelas extremidades isoladas não passa calor, pelo que $\int u\,dx$ permanece constante. Os modos são então cossenos, e o modo $k = 0$, a temperatura média, nunca decai: toda a barra tende para a média. Ambas as condições atuam desde $t = 0$. Um perfil inicial incompatível numa extremidade, como uma barra uniforme entre gelo, ajusta-se aí de imediato.