Deret Fourier

Grafik atas menggambar fungsi $f$ dengan periode $2\pi$ dalam warna hitam dan jumlah parsialnya $S_N$ dalam warna kuning: suku konstan serta semua kosinus dan sinus hingga frekuensi $N$. Panel tengah mengalikan $f$ dengan satu gelombang probe dan mengarsir luas bertanda antara hasil kali dan sumbu. Panel bawah menyusun koefisien yang diperoleh dengan cara ini, kosinus di atas dan sinus di bawah.

Mengapa satu luas dapat memilih satu koefisien ketika $f$ memuat semua gelombang sekaligus? Selama satu periode penuh, hasil kali dua gelombang berbeda dari $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ memiliki luas bertanda nol, sedangkan sinus atau kosinus dikalikan dirinya sendiri memiliki luas $\pi$. Jadi, mengalikan jumlah gelombang-gelombang ini dengan $\sin kx$ lalu mengintegralkannya menghilangkan semua suku kecuali $b_k \sin kx$ dan menyisakan $\pi b_k$. Pada contoh dua sinus, panel membagi hasil kali menjadi dua, dan bagian dengan frekuensi lain saling meniadakan di dalamnya. Gelombang-gelombang itu berperilaku seperti sumbu yang saling tegak lurus, dan setiap koefisien adalah proyeksi pada salah satu sumbu. Karena itu, menambahkan suku tidak pernah mengubah koefisien yang sudah ditemukan.

Dengan cukup banyak suku, jumlah parsial melampaui fungsi di dekat lompatan. Saat $N$ membesar, puncak menyempit dan mendekati lompatan, tetapi lonjakan berlebih tidak hilang: untuk gelombang persegi, kelebihannya menuju sekitar 8.949% dari tinggi lompatan. Setiap $S_N$ kontinu, sehingga harus menyeberangi lompatan sepanjang suatu selang pendek. Pada selang mana pun yang memuat lompatan, galat terbesarnya tidak dapat menuju 0. Kekontinuan saja tidak menentukan besarnya: angka 8.949% diperoleh dari perhitungan jumlah parsial, dan setiap lompatan fungsi yang mulus per bagian akhirnya memiliki perbandingan yang sama.

Fungsi yang lebih mulus memerlukan lebih sedikit suku. Di sini $f$ berarti fungsi yang diulang tanpa henti, sehingga ujung-ujung di $\pm\pi$ yang tidak bertemu juga membentuk lompatan. Integrasi parsial memindahkan turunan dari gelombang ke $f$ dan menghasilkan faktor $1/k$. Jika ada lompatan, langkah pertama menyisakan suku batas dengan faktor $1/k$: koefisien gelombang persegi adalah $b_k = 4/(k\pi)$ untuk $k$ ganjil dan 0 untuk $k$ genap. Jika $f$ kontinu tetapi kemiringannya melompat, seperti pada sudut gelombang segitiga, langkah pertama berlalu tanpa suku batas itu dan langkah kedua menyisakannya. Maka koefisien mengecil seperti $1/k^2$. Pada skala logaritmik, bandingkan batang dengan garis putus-putus $1/k$ dan $1/k^2$.

Tampilan energi menerapkan sifat tegak lurus yang sama pada kuadrat. Integral $f^2$ terurai menjadi kuadrat koefisien, tanpa suku silang: $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ Tampilan menunjukkan bagian dari total ini yang sudah termuat dalam $S_N$; sisanya adalah galat kuadratnya, diukur dengan integral yang sama. Untuk gelombang persegi, $S_1$ memuat sekitar 81% dan $S_9$ sekitar 96%, meskipun lonjakan berlebih masih ada: puncak yang sempit hanya menambah sedikit luas. Jumlah parsial dapat mendekati $f$ secara rata-rata tetapi masih meleset di dekat lompatan.