푸리에 급수

위쪽 그래프는 주기가 $2\pi$인 함수 $f$의 그래프를 검은색으로, 부분합 $S_N$의 그래프를 노란색으로 그립니다. 부분합에는 상수항과 주파수 $N$까지의 모든 코사인과 사인이 들어갑니다. 가운데 띠에서는 $f$에 탐침 파동 하나를 곱하고, 곱한 함수와 축 사이의 부호 있는 넓이를 색으로 표시합니다. 아래쪽 띠에는 이렇게 구한 계수를 코사인은 위에, 사인은 아래에 나열합니다.

$f$에 모든 파동이 함께 들어 있는데 어떻게 넓이 하나로 계수 하나를 골라낼까요? 한 주기 전체에서 $1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots$ 중 서로 다른 두 파동을 곱하면 부호 있는 넓이가 0이 됩니다. 반면 사인이나 코사인을 자기 자신과 곱하면 넓이가 $\pi$입니다. 따라서 이 파동들의 합에 $\sin kx$ 형태의 파동을 곱해 적분하면 $b_k \sin kx$ 외의 모든 항이 사라지고 $\pi b_k$가 남습니다. 두 사인 예시에서는 띠가 곱을 두 부분으로 나누어, 다른 주파수에 해당하는 부분이 스스로 상쇄되는 모습을 보여 줍니다. 파동들은 서로 수직인 축처럼 작용하며 각 계수는 그중 한 축으로의 사영입니다. 따라서 항을 더해도 이미 구한 계수는 바뀌지 않습니다.

항이 충분히 많아지면 부분합은 점프 옆에서 원래 함수를 넘어섭니다. $N$이 커질수록 봉우리가 좁아지고 점프에 가까워지지만 오버슈트는 사라지지 않습니다. 사각파에서 초과 높이는 점프 높이의 약 8.949%에 다가갑니다. 각 $S_N$은 연속이므로 짧은 구간에 걸쳐 점프를 가로질러야 하며, 점프를 포함한 어떤 구간에서도 최대 오차가 0으로 줄어들 수 없습니다. 연속성만으로 그 크기가 정해지는 것은 아닙니다. 8.949%는 부분합을 계산해 얻는 값이며, 조각별로 매끄러운 함수의 모든 점프에서 결국 같은 비율이 나타납니다.

더 매끄러운 함수에는 더 적은 항이 필요합니다. 여기서 $f$는 끝없이 반복한 함수이므로 $\pm\pi$의 양 끝이 만나지 않으면 그곳도 점프입니다. 부분적분을 하면 미분이 파동에서 $f$ 쪽으로 옮겨 가고 $1/k$ 형태의 인자가 나옵니다. 점프가 있으면 첫 단계에서 인자 $1/k$를 포함한 경계항이 남습니다. 사각파의 계수는 $k$가 홀수이면 $b_k = 4/(k\pi)$이고 $k$가 짝수이면 0입니다. $f$로 주어진 함수가 연속이지만 기울기에 점프가 있다면, 삼각파의 모서리처럼 첫 단계에서는 그 경계항 없이 진행되고 두 번째 단계에서 항이 남습니다. 따라서 계수는 $1/k^2$처럼 줄어듭니다. 로그 눈금에서 막대를 점선 $1/k$, $1/k^2$과 비교해 보세요.

에너지 표시에는 같은 직교성을 제곱에 적용합니다. $f^2$의 적분은 교차항 없이 계수들의 제곱으로 나뉩니다. $$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k \ge 1} \left(a_k^2 + b_k^2\right).$$ 표시되는 값은 이 전체 에너지 중 $S_N$에 이미 들어 있는 비율입니다. 나머지는 같은 적분으로 측정한 제곱 오차입니다. 사각파에서는 $S_1$에서는 약 81%, $S_9$에서는 약 96%가 되지만 오버슈트는 여전히 남습니다. 좁은 봉우리가 더하는 넓이는 작기 때문입니다. 부분합이 평균적으로는 $f$에 가까워도 점프 근처에서는 여전히 벗어날 수 있습니다.