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Analyse à plusieurs variables · Divergence

Divergence

La divergence d’un champ de vecteurs en un point est le flux net sortant par unité d’aire d’une minuscule région autour de ce point, div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y. Réduisez un cercle autour du point et observez flux ÷ aire se stabiliser.

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La divergence dans cette visualisation

La divergence d’un champ de vecteurs plan F=(P,Q)\mathbf F = (P, Q) est le scalaire div⁡F=∇⋅F=∂P/∂x+∂Q/∂y\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \partial P/\partial x + \partial Q/\partial y, défini là où F est continûment différentiable. Elle mesure le flux net sortant par unité d’aire — parfois appelé densité de sources. Autour d’un petit cercle de rayon r centré en p, additionnez la composante normale sortante F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n le long du bord (le flux Φ), puis divisez par l’aire :

La divergence comme limite
div⁡F(p)=lim⁡r→01πr2∮F⋅n ds\operatorname{div}\mathbf F(p) = \lim_{r\to 0}\frac{1}{\pi r^2}\oint \mathbf F\cdot\mathbf n\,ds

Les traits sur le bord représentent F·n : pleins vers l’extérieur, creux vers l’intérieur, avec une échelle par cercle. Pour un champ régulier, le rapport diffère de la divergence d’un multiple de r² : diviser r par deux divise donc l’écart par environ quatre ; dans un champ linéaire, il égale la divergence pour tout cercle. La forme n’importe pas : un carré autour de p donne la même limite. Une goutte d’encre rend ce sens visible : une petite zone de fluide transportée par l’écoulement voit son aire croître au taux relatif div F ; une zone de taille finie, suivie pendant un temps fini, en mesure une moyenne.

Découpez une région en cellules et additionnez leurs flux sortants : à travers chaque bord intérieur, le flux sortant d’une cellule est le flux entrant de sa voisine ; seul le bord extérieur reste. Réduire les cellules transforme la somme en théorème de la divergence (forme flux du théorème de Green) : ∮∂DF⋅n ds=∬Ddiv⁡F dA\oint_{\partial D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \iint_D \operatorname{div}\mathbf F\,dA, pour une région bornée à bord régulier par morceaux où F est continûment différentiable. En trois dimensions, le même énoncé est le théorème de Gauss, avec des surfaces et des volumes.

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À observer

  • La divergence ne décrit pas le sens des flèches. La source ponctuelle (x,y)/(x2+y2)(x, y)/(x^2 + y^2) pointe partout vers l’extérieur, mais sa divergence est nulle hors de l’origine ; tout cercle entourant l’origine laisse sortir 2π, car toute la source est concentrée à l’origine, où le champ n’est pas défini (au sens des distributions, sa divergence y est 2π fois un delta). Le champ (x2,0)(x^2, 0) pointe partout vers la droite, mais présente des sources là où il accélère et des puits là où il ralentit.
  • Un écoulement rapide n’est pas une divergence : le champ en selle (x,−y)(x, -y) aplatit une goutte mais conserve son aire. La circulation le long du bord, F·T, relève du rotationnel (E26).
  • La divergence provient de la dérivation symbolique de la formule ; elle n’est écrite avec « = » que lorsque sa valeur exacte est rationnelle. Le flux est une intégrale numérique, affichée uniquement avec les chiffres justifiés par l’estimation d’erreur. Pour un champ saisi, la page compare le flux à ∬ div F dA et signale les désaccords : un point singulier peut se trouver dans la région ou à proximité.
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Commandes

  • Faites glisser P, ou le bord et sa poignée r ; P s’aligne sur le réseau des flèches, r sur les puissances de 2. r → 0 divise r par deux six fois et recueille chaque niveau dans la fenêtre facultative Relevé de l’approche ; une petite forme ouvre la loupe. Choisissez Carré pour que r désigne le demi-côté, puis Grille pour choisir le découpage.
  • Déformation fait évoluer le cercle ou le carré actuel jusqu’à t = ¼. Appuyez pendant l’animation pour suspendre, ou après la fin pour rejouer ; la forme finale reste visible. L’aire et le taux de croissance sont des moyennes sur la région et sur le temps. Forme de référence conserve sa position, sa taille et sa forme pendant que vous déplacez le détecteur ou changez sa forme. Changer le champ la supprime ; appuyez à nouveau sur la touche pour l’enlever.
  • Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran : Espace lance r → 0, ← et → doublent ou divisent r par deux, H masque la divergence. Partager copie un lien vers le champ, le détecteur et la vue.
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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Divergence (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 3, 6.5 Divergence and Curl (Anglais); Wikipédia: Divergence theorem (Anglais).